Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 (có đáp án): Cực trị của hàm số (phần 2)

y' = 3x² - 6mx + m² - 1; y'' = 6x - 6m

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi

Xét y = x³ - 3mx² + (3m² - 3)x - m²

Ta có: y' = 3² - 6mx + 3m² - 3, y'' = 6x - 6m

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 khi

Ta có y' = 3x² + 4(m - 1)x + m² - 4m + 1. Hàm số có hai cực trị

=> y' = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> 4(m - 1)² - 3(m² - 4m + 1) > 0

<=> m² + 4m + 1 > 0

Áp dụng Vi-ét cho phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ta có :

Đối chiếu điều kiện (*) có m = 5 hoặc m = 1

Ta có y' = 3x² - 6mx + 3(m² - 1).

Hàm số có hai cực trị => y' = 0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' > 0 <=> (3m)² - 3.3(m² - 1) > 0 <=> 9 > 0 đúng với mọi m. Ta có điểm cực đại là B(m - 1; -2m + 2) và cực tiểu là C(m + 1; -2m - 2)

y’= 3x² - 6mx = 3x(x - 2m)

Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> m ≠ 0 (*)

Tọa độ hai điểm cực trị là B(0;m) và C(2m;-4m³ + m)

AB→ =(1;m – 3); AC→ =(2m+1; -4m³ + m-3)

A, B, C thẳng hàng

Cách 1: Ta có y’=3x²-6x-6 ; y”=6x - 6

Do đó đồ thị hàm số có điểm cực trị là A(1 + √3; -6√3) và B(1 - √3; 6√3) .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Cách 2: Ta có:

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình y’(x)= 3x²-6x-6=0 . Khi đó ta có A(x₁, y(x₁)), BA(x₂, y(x₂)) là hai cực trị của đồ thị hàm số C với y'(x₁) = y'(x₂) = 0 .

Do đó ta có:

Vậy A, B thuộc đường thẳng y= - 6x+6.

y' = 3x² - 6x - 9, y'' = 6x - 6

Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(-1;9) và B(3;-23).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

Ta có y' = 3x² - 6x + 3m. Hàm số có hai điểm cực trị <=> y’=0 có hai nghiệm phân biệt

<=> Δ' = 3² -3.3m > 0 <=> m < 1 (*)

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của y’=0

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng (d) : y= (2m-2)x+1

(d) có vectơ pháp tuyến là n₁→ = (2m - 2; -1)

(Δ) : 3x+y-8=0 có vectơ pháp tuyến là n₂→(3; 1)

Vì góc giữa đường thẳng (d) và (Δ) là 45^o nên

Đối chiếu điều kiện (*) có m = 3/4

y' = 3x² + 6x + m² . Hàm số có hai điểm cực trị => y’=0 có hai nghiệm phân biệt <=> Δ' = 3² - 3.m² > 0 <=> -√3 < m < √3

Chia y cho y’ ta được:

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của y’=0.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng

(d) có vectơ pháp tuyến là

Vì hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (Δ) nên (d) ⊥ (Δ)

Thử lại khi m=0 ta có: y = x³ + 3x²; y' = 3x² + 6x; y'' = 6x + 6

y''(0) = 6 > 0; y''(-2) = -6 < 0

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là O(0;0), A(-2;4)

Trung điểm của OA là I(-1;2).

Ta thấy I(-1,2) không thuộc đường thẳng (Δ) . Vậy không tồn tại m.

y' = 4x³ - 4mx = 4x(x² - m)

Hàm số có ba điểm cực trị => y’=0 có ba nghiệm phân biệt <=> m > 0.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là :

A(0; m⁴ + 2m), B(-√m; m⁴ - m² + 2m), C(√m; m⁴ - m² + 2m)

ΔABC đều khi AB=AC

Đối chiếu với điều kiện tồn tại cực trị ta có m = ∛3 là giá trị cần tìm.

Ta có: y' = 4x³ - 4x, y'' = 12x² - 4

y''(-1) = 8 > 0; y''(1) = 8 > 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 0 và có giá trị cực đại là y(0)=-2

y' = -sinx; y'' = -cosx. y' = 0 <=> -sinx = 0 <=> x = kπ

y''(kπ) = ±1. Do đó hàm số đạt cực trị tại x = kπ

y' = 3x² - 4x + m. Hàm số không có cực trị <=> y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép <=> Δ' ≤ 0 <=> 2² - 3m ≤ 0 <=> m ≥ 4/3

Do đó hàm số không có cực trị khi m ≥ 4/3

Xét hàm số y = -mx⁴ +2(m - 1)x² + 1 - 2m(1)

TH1: m = 0 (1) trở thành y = -2x² + 1

Vậy với m = 0 hàm số luôn có một cực trị.

TH2: m ≠ 0. y' = -4mx³ + 4(m - 1)x

Để hàm số (1) có một cực trị thì

vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0

Kết hợp cả hai trường hợp ta có 0 ≤ m ≤ 1