(Ôn thi Toán vào 10) Hàm số bậc nhất và đồ thị

Hàm số bậc nhất và đồ thị nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Hàm số bậc nhất và đồ thị

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng $y=ax+b,$  trong đó $a,b$  là hai số đã cho và  $a\ne 0.$

2. Các tính chất của hàm số bậc nhất

– Điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ thì tọa độ của $M$ phải thỏa mãn phương trình $y=ax+b,$  tức là $y_0=a{x}_0+b.$

– Đồ thị hàm số $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ là một đường thẳng $\left(d\right).$

+ Nếu $a>0$ thì hàm số đồng biến và có đồ thị $\left(d\right)$ hướng lên trên theo chiều tăng của $x.$

+ Nếu $a<0$ thì hàm số nghịch biến và có đồ thị $\left(d\right)$ hướng xuống dưới theo chiều tăng của $x.$

3. Vẽ đồ thị hàm số $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$

➣ Chú ý: Trục hoành là đường thẳng $y=0;$  Trục tung là đường thẳng $x=0.$

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số $y=2x.$

Ví dụ 2. Vẽ đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}x+3.$

* Vẽ đồ thị hàm số $y=|ax+b|\left(a\ne 0\right)$

Ví dụ 3. Vẽ đồ thị $y=|x+2|.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $y=\left\{\begin{array}{ll}x+2& \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{khi} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x\ge -2\\ -\left(x+2\right)& \text{ khi \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x<-2\end{array}\right.$

Xét hàm số $y=x+2$  với $x\ge -2:$

Cho $x=0$  ta có $y=2.$  Đồ thị đi qua điểm $A\left(0;2\right).$

Cho $x=-2$  ta có $y=0.$  Đồ thị đi qua điểm $B\left(-2;0\right).$

* Vẽ đồ thị hàm số $y=|ax+b|+k\left(a\ne 0\right)$

Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số $y=|x+2|-3.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $y=|x+2|-3=\left\{\begin{array}{ll}x-1& \mathrm{kh} ix\ge -2\\ -x-5& \hspace{0.17em}\mathrm{khi}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}x<-2\end{array}\right.$

Xét hàm số $y=x-1$  với $x\ge -2:$

Cho $x=0$  ta có $y=-1.$  Đồ thị đi qua điểm $A\left(0;-1\right).$

Cho $x=1$  ta có $y=0.$  Đồ thị đi qua điểm $B\left(1;0\right).$

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$  (với $a\ne 0)$  và $\left(d^{\text{'}}\right):a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}$  (với $a^{\text{'}}\ne 0),$  khi đó ta có:

⦁ $d$  và $d^{\text{'}}$  trùng nhau khi và chi khi $a=a^{\text{'}};b=b^{\text{'}}.$

⦁ $d$  và $d^{\text{'}}$  song song với nhau khi và chỉ khi $a=a^{\text{'}};b\ne b^{\text{'}}.$

⦁ $d$  và $d^{\text{'}}$  cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a^{\text{'}}.$

⦁ $d$  và $d^{\text{'}}$  vuông góc với nhau khi $a\cdot a^{\text{'}}=-1.$

5. Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng $\left(d\right)$  có phương trình $y=ax+b\left(a\ne 0\right).$  Khi đó:

– Số thực $a$  là hệ số góc của đường thẳng $\left(d\right).$

– Gọi $\alpha$  là góc tạo bởi tia $Ox$  và  $d.$

+ Khi $a>0$  thì góc tạo bởi $Ox$  và $\left(d\right)$  là góc nhọn. Hệ số $a$  càng lớn thì góc $\alpha$  càng lớn nhưng luôn nhỏ hơn $90°.$

+ Khi $a<0$  thì góc tạo bởi $Ox$  và $\left(d\right)$  là góc tù. Hệ số $a$  càng lớn thì góc $\alpha$ càng lớn nhưng luôn lớn hơn $90°$  và nhỏ hơn $180°.$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$ và $\left(d^{\text{'}}\right):y=a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}$

Ví dụ 5. Tìm tọa độ giao điểm $M$ của hai đường thẳng $\left(d\right):y=\frac{1}{2}x-3$ và $\left(d^{\text{'}}\right):y=-2x+2.$

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Dùng phương pháp đồ thị

⦁ Vẽ đồ thị hàm số $\left(d\right):y=\frac{1}{2}x-3.$

Cho $x=0,$  ta có $y=-3.$  Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(0;-3\right).$

Cho $x=2,$  ta có $y=-2.$  Đồ thị hàm số đi qua điểm $B\left(2;-2\right).$

⦁ Từ đồ thị ta thấy điểm $B\left(2;-2\right)$  thuộc đồ thị hàm số $\left(d\right):y=\frac{1}{2}x-3$  và $\left(d^{\text{'}}\right):y=-2x+2.$

Thật vậy, thay $x=2$  và $y=-2$  lần lượt vào hai hàm số ta được:

$\left(d\right):-2=\frac{1}{2}\cdot 2-3$ hay $-2=-2$  (đúng). Do đó $B\left(2;-2\right)\in \left(d\right).$

 $\left(d^{\text{'}}\right):-2=-2\cdot 2+2$  hay $-2=-2$  (đúng). Do đó $B\left(2;-2\right)\in \left(d^{\text{'}}\right).$

Vậy $\left(2;-2\right)$  là tọa độ giao điểm hai đường thẳng $\left(d\right):y=\frac{1}{2}x-3$  và $\left(d^{\text{'}}\right):y=-2x+2.$

Cách 2. Tọa độ giao điểm $M\left(x_M;y_M\right)$  của $\left(d\right)$  và $\left(d^{\text{'}}\right)$  là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-3\\ y=-2x+2.\end{array}\right.$

Thế phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

$\frac{1}{2}x-3=-2x+2$ hay $\frac{5}{2}x=5$  nên $x=2.$

Thay $x=2$  vào hàm số $y=-2x+2$  ta được: $y=-2\cdot 2+2=-2.$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\left(d\right):y=\frac{1}{2}x-3$  và $\left(d^{\text{'}}\right):y=-2x+2$  là $\left(2;-2\right).$

Dạng 2. Tìm hàm số của đồ thị $\left(d\right)$đi qua 2 điểm $A\left(x_A;y_A\right)$  và $B\left(x_B;y_B\right)$

Ví dụ 6. Tìm hàm số của đường thẳng $\left(d\right)$đi qua $A\left(1;4\right)$  và $B\left(2;5\right).$

Hướng dẫn giải:

Gọi hàm số của đường thẳng $\left(d\right)$có dạng là  $y=ax+b.$

Vì đường thẳng $\left(d\right)$  đi qua $A\left(1;4\right)$  và $B\left(2;5\right)$  nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}4=a\cdot 1+b\\ 5=a\cdot 2+b\end{array}\right.$  hay $\left\{\begin{array}{l}a+b=4\\ 2a+b=5.\end{array}\right.$

Trừ hai vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ phương trình trên, ta được: $a=1.$

Thay $a=1$  vào phương trình thứ nhất $a+b=4,$  ta được: $1+b=4,$  suy ra $b=3.$

Khi đó ta có hàm số cần tìm là $y=x+3\left(d\right).$

Dạng 3. Tìmhàm số của đường thẳng $\left(d\right)$ đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và biết hệ số góc là $k$

Ví dụ 7. Tìm giá trị của $m$  để đồ thị hàm số $y=3x+m$ đi qua điểm $A\left(1;2\right).$

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số $y=3x+m$  đi qua điểm $A\left(1;2\right)$  nên ta có: $2=3\cdot 1+m,$  suy ra $m=-1.$

Vậy $m=-1$ thì đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(1;2\right)$

Ví dụ 8. Tìm hàm số của đồ thị  $\left(d\right)$ có hệ số góc là 3 và đi qua $A\left(2;7\right)$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $\left(d\right)$ có hệ số góc là 3 nên hàm số có dạng $y=3x+b.$

Đường thẳng $\left(d\right):y=3x+b$  đi qua điểm $A\left(2;7\right)$  nên ta có: $7=3\cdot 2+b,$  suy ra $b=1.$

Vậy đường thẳng $\left(d\right)$  có hàm số là $\left(d\right):y=3x+1.$

Dạng 4. Tìm hàm số của đường thẳng $\left(d\right)$ đi qua điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và song song với một đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right):y=ax+b$ cho trước

Ví dụ 9. Tìm hàm số của đồ thị $\left(d\right)$đi qua $A\left(1;4\right)$ và song song với đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right):y=2x-1.$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $\left(d\right)\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\left(d^{\text{'}}\right)$ nên $\left(d\right)$ có hệ số góc là 2, hàm số có dạng $y=2x+b\left(b\ne -1\right).$

Đường thẳng $\left(d\right)$  đi qua $A\left(1;4\right)$ nên ta có $4=2\cdot 1+b,$  suy ra $b=2.$

Vậy đồ thị $\left(d\right)$  có hàm số là $y=2x+2.$

Dạng 5. Tìm hàm số của đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$đi qua 1 điểm  $A\left(x_A;y_A\right)$ và vuông góc với một đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right):y=a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}$ cho trước

Ví dụ 10. Tìm hàm số của đường thẳng $\left(d\right)$đi qua $A\left(1;2\right)$ và vuông góc với đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right):y=2x+1.$

Hướng dẫn giải:

Gọi hàm số của đường thẳng $\left(d\right)$ là $y=ax+b.$

Vì $\left(d\right)$vuông góc $\left(d^{\text{'}}\right):y=2x+1$ nên $a\cdot 2=-1,$  suy ra $a=-\frac{1}{2}.$

Khi đó đường thẳng $\left(d\right)$có hàm số là $y=-\frac{1}{2}x+b.$

Mặt khác $\left(d\right):y=-\frac{1}{2}x+b$  đi qua $A\left(1;2\right)$ nên $2=-\frac{1}{2}\cdot 1+b,$  suy ra $b=\frac{5}{2}.$

Vậy hàm số cần tìm là $\left(d\right):y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}.$

Dạng 6. Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

Ví dụ 11. Cho hai đường thẳng $\left(d_1\right):y=2x-5$ và  $\left(d_2\right):y=4x-m$ $(m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Vì $2\ne 4$ nên $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ luôn cắt nhau.

Đường thẳng $\left(d_1\right):y=2x-5$ cắt trục hoành $y=0$ tại điểm $M\left(x_M;0\right)$ nên ta có:

$0=2x_M-5,$ suy ra $x_M=\frac{5}{2}.$

Để $\left(d_1\right)$  và $\left(d_2\right)$ cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì đường thẳng $\left(d_2\right):y=4x-m$phải đi qua $M\left(\frac{5}{2};0\right).$

Do đó ta có $0=4\cdot \frac{5}{2}-m,$  suy ra $m=10.$

Vậy $m=10.$

Dạng 7. Chứng minh một họ đường thẳng $y=f\left(m\right)\cdot x+g\left(m\right)$ phụ thuộc tham số $m$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi $m$ hay tìm điểm cố định mà họ đường thẳng luôn đi qua

Ví dụ 12. Tìm điểm cố định mà đường thẳng $y=mx+5m+2$ luôn đi qua với mọi giá trị của tham số $m$

Hướng dẫn giải:

Gọi $I\left(x_I;y_I\right)$  là điểm cố định mà đường thẳng $y=mx+5m+2$ luôn đi qua với mọi $m$.

Đường thẳng $y=mx+5m+2$ luôn đi qua điểm $I\left(x_I;y_I\right)$với mọi $m$ nên ta có:

$y_I=m{x}_I+5m+2$ đúng với mọi $m$

Hay $\left(x_I+5\right)m+\left(2-y_I\right)=0$  đúng với mọi $m$

Suy ra $x_I+5=0$  và $2-y_I=0$

Nên $x_I=-5$  và $y_I=2.$

Vậy $I\left(-5;2\right)$  là điểm cố định mà đường thẳng $y=mx+5m+2$  luôn đi qua với mọi giá trị của tham số $m$.

Dạng 8. Ứng dụng của hàm số bậc nhất

b) Anh Hùng sử dụng Internet của công ty trên thì sau nửa năm anh phải trả cước phí là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

a) Dựa vào đồ thị ta có:

$x=0$ tương ứng $y=300000$  đồng;

$x=2$ tương ứng $y=440000$  đồng.

Thay vào hàm số $y=ax+b$  ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}a\cdot 0+b=300000\\ a\cdot 2+b=440000\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}b=300000\\ 2a+b=440000.\end{array}\right.$

Thế $b=300000$  vào phương trình thứ hai của hệ phương trình, ta được:

$2a+300000=440000,$ suy ra $a=70000.$

Khi đó ta có hàm số $y=70000x+300000.$

b) Vì anh Hùng đã sử dụng nửa năm nên $x=6,$  thay vào hàm số $y=70000x+300000,$  ta được:

$y=70000\cdot 6+300000=720000.$

Vậy sau nửa năm anh Hùng trả số tiền là $720000$  đồng.

Thay vào hàm số $y=ax+b$  ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}a\cdot 0+b=1410\\ a\cdot 17+b=900\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}b=1410\\ 17a+b=900.\end{array}\right.$

Thế $b=1410$ vào phương trình thứ hai của hệ phương trình, ta được:

$17a+1410=900,$ suy ra $a=-30.$

Khi đó ta có hàm số $y=-30x+1410.$

b) Để xí nghiệp bán hết số sản phẩm thì $y=0,$  thay vào hàm số $y=-30x+1410,$  ta được:

$0=-30x+1410,$ suy ra $x=47.$

Vậy xí nghiệp cần 47  ngày để bán hết số sản phẩm cần thanh lí.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.Tìm hàm số củađồ thị $\left(d\right)$  biết $\left(d\right)$  là đường thẳng:

a) đi qua điểm $A\left(1;2\right)$  và $B\left(3;4\right).$

b) đi qua điểm $C\left(1;1\right)$  và có hệ số góc là 5.

c) đi qua điểm $D\left(0;1\right)$  và song song với   $\left(d^{\text{'}}\right):y=3x-1.$

d) đi qua điểm $E\left(0;3\right)$ và vuông góc với $y=-x.$

Bài 2. Cho hàm số $y=mx+3m-1$  có đồ thị là đường thẳng $\left(d\right).$

a) Xác định $m$  để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

b) Tìm tọa độ điểm cố định mà mọi đường thẳng $\left(d\right)$ đều đi qua với mọi $m$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Hàm số bậc hai y = ax² và đồ thị

• (Ôn thi Toán vào 10) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Đường thẳng và Parabol

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---