(Ôn thi Toán vào 10) Ứng dụng hằng đẳng thức và phép nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ

Ứng dụng hằng đẳng thức và phép nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2026 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Ứng dụng hằng đẳng thức và phép nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2026 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Các hằng đẳng thức

2. Biểu thức liên hợp

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ là $\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Ta có $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b$.

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt{a}-b$ là $\sqrt{a}+b$.

Ta có $\left(\sqrt{a}-b\right)\left(\sqrt{a}+b\right)=a-b^2$.

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{a}-b$ là ${\sqrt[3]{a}}^2+\sqrt[3]{a}\cdot b+b^2$.

Ta có $\left(\sqrt[3]{a}-b\right)\left({\sqrt[3]{a}}^2+\sqrt[3]{a}\cdot b+b^2\right)=a-b^3$.

•Biểu thức liên hợp của $\sqrt[3]{a}+b$ là ${\sqrt[3]{a}}^2-\sqrt[3]{a}\cdot b+b^2$.

Ta có $\left(\sqrt[3]{a}+b\right)\left({\sqrt[3]{a}}^2-\sqrt[3]{a}\cdot b+b^2\right)=a+b^3$.

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Nâng lên luỹ thừa để phá căn

Ví dụ 1. Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-2}=\sqrt{5x-1}\left(1\right)$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\ge 1;x\ge \frac{2}{3};x\ge \frac{1}{5}$ nên $x\ge 1.$

Do hai vế đề không âm nên bình phương hai vế nên từ $\left(1\right)$ ta có:

$4x-3+2\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{3x-2}=5x-1$

$2\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{3x-2}=x+2\left(*\right)$

Từ điều kiện xác định ra có $x+2>0$, nên bình phương hai vế của $\left(*\right)$ta có

$4\left(x-1\right)\left(3x-2\right)={\left(x+2\right)}^2$

$11x^2-24x+4=0$

$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)=0$

$x=2\left(\text{TM}\right)$ hoặc $x=\frac{2}{11}$ (loại)

Vậy phương trình có nghiệm $x=2.$

Ví dụ 2.Giải phương trình $\sqrt[3]{x+6}-\sqrt[3]{x-1}=1\left(2\right)$

Hướng dẫn giải:

Lập phương hai vế của phương trình, ta có

$x+6-\left(x-1\right)-3\sqrt[3]{x+6}\cdot \sqrt[3]{x-1}\cdot \left(\sqrt[3]{x+6}-\sqrt[3]{x-1}\right)=1\left(*\right)$

$x+6-\left(x-1\right)-3\sqrt[3]{x+6}\cdot \sqrt[3]{x-1}\cdot 1=1$

$\sqrt[3]{x+6}\cdot \sqrt[3]{x-1}=2$

$\left(x+6\right)\left(x-1\right)=8$

$x^2+5x-14=0$

$\left(x-2\right)\left(x+7\right)=0$

$x-2=0$ hoặc $x+7=0$

$x=2$hoặc $x=-7$.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\{-7;2\}$.

Ví dụ 3. Giải phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+2}=\sqrt{6x-4}+\sqrt{4x-3}\left(3\right)$

Phân tích:Kiểm tra các biểu thức trong căn, ta thấy $\left(3x+1\right)+\left(4x-3\right)=\left(x+2\right)+\left(6x-4\right)$ nên ta thực hiện chuyển vế như dưới sau đó bình phương. Khi đó sẽ triệt tiêu được các hạng tử chứa x bên ngoài căn.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $x\ge \frac{-1}{3};x\ge -2;x\ge \frac{4}{6};x\ge \frac{3}{4}$ nên $x\ge \frac{3}{4}$.

Từ phương trình $\left(3\right)$ ta có $\sqrt{3x+1}-\sqrt{4x-3}=\sqrt{6x-4}-\sqrt{x+2}\left(\text{4}\right)$

${\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{4x-3}\right)}^2={\left(\sqrt{6x-4}-\sqrt{x+2}\right)}^2\left(5\right)$

$7x-2-2\sqrt{\left(3x-1\right)\left(4x-3\right)}=7x-2-2\sqrt{\left(6x-4\right)\left(x+2\right)}$

$\sqrt{3x+1}-\sqrt{4x-3}=\sqrt{6x-4}-\sqrt{x+2}$

$12x^2-5x-3=6x^2+8x-8$

$6x^2-13x+5=0$

$x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{5}{3}$.

Đối chiếu điều kiện, ta có $x=\frac{5}{3}$; thử lại thấy $x=\frac{5}{3}$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{5}{3}$.

Nhận xét: Do từ $\left(4\right)$ đến $\left(5\right)$ không phải biến đổi tương đương nên khi giải ra kết quả, ngoài đối chiếu điều kiện ta phải thử lại ở phương trình ban đầu.

Dạng 2. Ghép thích hợp đưa về phương trình tích

Phương pháp giải: Kiểm tra phương trình ban đầu xem có thể tách rồi đặt nhân tử chung và đưa phương trình về phương trình tích hay không (Chú ý tới một số hằng đẳng thức có thể xuất hiện trong các biểu thức).

Ví dụ 4: Giải phương trình $\sqrt{x^3+1}-4=2\sqrt{x^2-x+1}-2\sqrt{x+1}$.

Hướng dẫn giải:

Do $x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi x và $x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$.

Nên ta có điều kiện: $x\ge -1$.

Khi đó $\sqrt{x^3+1}-4=2\sqrt{x^2-x+1}-2\sqrt{x+1}$

$\sqrt{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+2\sqrt{x+1}-\left(2\sqrt{x^2-x+1}+4\right)=0$

$\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x^2-x+1}+2\right)-2\left(\sqrt{x^2-x+1}+2\right)=0$

$\left(\sqrt{x+1}-2\right)\left(\sqrt{x^2-x+1}+2\right)=0$

$\sqrt{x+1}-2=0$ (vì $\sqrt{x^2-x+1}+2>0)$

$x=3$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm $x=3$.

Dạng 3. Nhân liên hợp đưa về phương trình tích

Ví dụ 5. Giải phương trình $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}=\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+3}$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện$x\ge \frac{-1}{2}$.

Ta có $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}=\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+3}$

$\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\right)+\left(\sqrt{3x+2}-\sqrt{2x+3}\right)=0.\left(1\right)$

Vì $\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}\ne 0;\sqrt{3x+2}+\sqrt{2x+3}\ne 0$ nên

$\frac{\left(2x+1\right)-\left(x+2\right)}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{\left(3x+2\right)-\left(2x+3\right)}{\sqrt{3x+2}+\sqrt{2x+3}}=0$

$\frac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{x-1}{\sqrt{3x+2}+\sqrt{2x+3}}=0$

$\left(x-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{3x+2}+\sqrt{2x+3}}\right)=0\left(2\right)$

Ta có $\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{3x+2}+\sqrt{2x+3}}>0$ với $x\ge \frac{-1}{2}$.

Khi đó$\left(2\right)$ trở thành $x-1=0$ hay $x=1$ (TM).

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.

Dạng 4. Nhẩm nghiệm sau đó tách thích hợp để đưa về phương trình tích

Phương pháp giải: Bước 1. Nhẩm xem phương trình có nghiệm nguyên là số nào, thường là các số khi thay vào có thể khai căn. Bước 2. Tính giá trị của mỗi căn, khi đó ta biết giá trị cần thêm hay bớt tương ứng. Bước 3. Kết hợp biểu thức liên hợp để phân tích thành nhân tử.

➣ Chú ý: Phương trình $f\left(x\right)=0$ nếu có nghiệm $x=a$ thì $f\left(x\right)=\left(x-a\right)\cdot Q\left(x\right)$.

Ví dụ 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x+2}=3\left(1\right)$

Phân tích: Nhẩm thấy $\left(1\right)$ có nghiệm $x=2$, khi đó phương trình sẽ chứa nhân tử$x-2$ tương ứng $\sqrt[3]{x-1}=1;\sqrt{x+2}=2$ hay$\sqrt[3]{x-1}-1=0;\sqrt{x+2}-2=0$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $x\ge -2$.

Ta có

${\sqrt[3]{x-1}}^2+\sqrt[3]{x-1}+1={\left(\sqrt[3]{x-1}+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0;$$\sqrt{x+2}+2>0$.

Từ phương trình $\left(1\right)$ ta có $\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x+2}-3=0$nên

$\frac{\left(x-1\right)-1}{{\sqrt[3]{x-1}}^2+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{\left(x+2\right)-4}{\sqrt{x+2}+2}=0$

$\frac{x-2}{{\sqrt[3]{x-1}}^2+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}=0$

$\left(x-2\right)\left(\frac{1}{{\sqrt[3]{x-1}}^2+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\right)=0$

$x-2=0$ (vì $\frac{1}{{\sqrt[3]{x-1}}^2+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}>0$).

$x=2$.

Vậy phương trình có nghiệm $x=2$.

Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{7-x}=2x^2-5x\left(2\right)$

Phân tích: Nhẩm thấy $\left(2\right)$ có nghiệm $x=3$, khi đó $\sqrt{x-2}=1;\sqrt{7-x}=2$.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện $2\le x\le 7$.Vì $\sqrt{x-2}+1>0;\sqrt{7-x}+2>0$ nên từ $\left(2\right)$ suy ra

$\left(\sqrt{x-2}-1\right)+\left(\sqrt{7-x}-2\right)-\left(2x^2-5x+3\right)=0$

$\frac{x-2-1}{\sqrt{x-2}+1}+\frac{7-x-4}{\sqrt{7-x}+2}-\left(x-3\right)\left(2x+1\right)=0$

$\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}+\frac{3-x}{\sqrt{7-x}+2}-\left(x-3\right)\left(2x+1\right)=0$

$\left(x-3\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{7-x}+2}-2x-1\right)=0$.

• TH1:$x-3=0$ hay $x=3$ (TM).

• TH2: $x-3\ne 0$ hay $x\ne 3$, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\frac{1}{\sqrt{7-x}+2}-2x-1=0$

$\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}=\frac{1}{\sqrt{7-x}+2}+2x+1\left(3\right)$.

Nhận thấy với $2\le x\le 7$ thì $\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}<1<\frac{1}{\sqrt{7-x}+2}+2x+1$nên $\left(3\right)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm$x=3$.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2026 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

• (Ôn thi Toán vào 10) Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Phương trình vô tỉ

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Đề thi vào lớp 10 môn Toán (có đáp án) được các Giáo viên hàng đầu biên soạn theo cấu trúc ra đề thi Trắc nghiệm, Tự luận mới giúp bạn ôn luyện và giành được điểm cao trong kì thi vào lớp 10 môn Toán.

---