Toán 9 Bài tập ôn cuối năm (Phần Đại Số - Phần Hình Học)

Giải sgk Toán 9 Bài tập ôn cuối năm (Phần Đại Số - Phần Hình Học)

Video Giải bài tập Toán 9 Bài tập ôn cuối năm - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

A - Phần Đại Số

Bài 1 trang 131 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Xét các mệnh đề sau:

Những mệnh đề nào là sai?

Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D dưới đây:

A. Chỉ có mệnh đề I sai;

B. Chỉ có mệnh đề II sai;

C. Các mệnh đề I và IV sai;

D. Không có mệnh đề nào sai.

Lời giải

Mệnh đề I sai vì không có căn bậc hai của số âm.

Mệnh đề IV sai vì √100 = 10(căn bậc hai số học)

Các mệnh đề II và III đúng.

Vậy chọn câu C

Bài 2 trang 131 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Rút gọn các biểu thức:

Lời giải

Bài 3 trang 132 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Giá trị của biểu thức

Lời giải

Ta có:

Giá trị biểu thức bằng:

Chọn đáp án D.

Bài 4 trang 132 SGK Toán lớp 9 Tập 2 :

Điều kiện : x ≥ 0

Bài 5 trang 132 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Lời giải

Điều kiện: x > 0, x ≠ 1.

Ta có:

Bài 6 trang 132 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho hàm số y = ax + b .Tìm a và b, biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-1; -1).

b) Song song với đường thẳng y = x + 5 và đi qua điểm C(1; 2).

Lời giải

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1; 3) và B(-1; -1)

Vậy a = 2; b = 1; hàm số y = 2x + 1.

b) y = ax + b song song với y = x + 5

⇒ a = 1.

Đồ thị hàm số đi qua C(1; 2) ⇔ 2 = a.1 + b ⇔ a + b = 2 ⇒ b = 1.

Vậy a = 1; b = 1.

Bài 7 trang 132 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho hai đường thẳng:

y = (m + 1)x + 5     (d₁)

y = 2x + n     (d₂)

Với giá trị nào của m và n thì:

a) d₁ trùng với d₂?

b) d₁ cắt d₂?

c) d₁ song song với d₂?

Lời giải

a) Để d₁ trùng d₂

Vậy m = 1, n = 5

b) Để d₁ cắt d₂ thì: m + 1 ≠ 2 ⇒ m ≠ 1

c) Để d₁ song song d₂

Vậy m = 1, n ≠ 5.

Bài 8 trang 132 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.

Lời giải

Giả sử đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 đi qua điểm cố định M(x₀; y₀)

Vậy điểm cố định mà đường thẳng (k + 1)x – 2y = 1 đi qua là

Bài 9 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Giải các hệ phương trình:

Lời giải

Bài 10 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Giải các hệ phương trình:

a) Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 1.

Đặt (u, v ≥ 0).

Hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 2).

b) Đặt (x – 1)² = u, u ≥ 0.

Hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm

Bài 11 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng 4/5 số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi giá.

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x ( cuốn)

Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn), (x, y∈ N*; x> 50, x < 450, y < 450)

Hai giá sách có tất cả 450 cuốn nên x+ y = 450 (1)

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất khi đó là x- 50 và số sách ở giá thứ hai là y+ 50

Theo đầu bài ta có:

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 quyển, giá thứ hai là 150 quyển.

Bài 12 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.

Gọi vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc theo thứ tự là x, y (km/h) (x, y > 0)

* Lúc đi từ A đến B: Đoạn lên dốc dài 4km và đoạn xuống dốc dài 5km

* Lúc đi từ B đến A: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là ( h) , thời gian xuống dốc là: (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 40 phút = h nên:

* Lúc đi từ B đến A qua C: Đoạn lên dốc dài 5 km và đoạn xuống dốc dài 4 km

Thời gian đi lên dốc là ( h) , thời gian xuống dốc là: (h)

Theo đầu bài thời gian đi A đến B là 41 phút = h nên:

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đặt hệ phương trình trên trở thành:

Vậy vậy tốc độ lúc lên dốc là 12km/h, vận tốc lúc xuống dốc là 15km/h.

Bài 13 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Xác định hệ số a của hàm y = ax², biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-2; 1).Vẽ đồ thị của hàm số đó.

Đồ thị hàm số đi qua A(-2; 1) ⇒ 1 = a.(-2)² ⇒

Vậy hàm số:

x	-4	-2	0	2	4
	4	1	0	1	4

Đồ thị hàm số:

Bài 14 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 3x² – ax – b = 0. Tổng x₁ + x₂ bằng:

Hãy chọn câu trả lời đúng

Lời giải

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

S = x₁ + x₂ = -(-a/3) = a/3

Vậy chọn đáp án B

Bài 15 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Hai phương trình x² + ax + 1 = 0 và x² - x - a = 0 có một nghiệm thực chung khi a bằng:

(A) 0 ;     (B) 1 ;     (C) 2 ;     (D) 3

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải

Nghiệm chung x (nếu có) của hai phương trình là nghiệm của hệ:

Lấy (1) trừ (2) vế trừ vế ta được:

ax + 1+ x+ a = 0

⇔ ( ax+ x) + (1+ a) =0

⇔ (a+ 1).x+ (1+ a) = 0

⇔ ( a+ 1) . (x+1)=0

⇔ a = - 1 hoặc x= -1

* Với a = -1 thay vào (2) ta được: x²- x + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm

vì ∆= (-1)² – 4.1.1= - 3 < 0

nên loại a = -1.

*Thay x = -1 vào (2) suy ra a = 2.

Vậy với a = 2 thì phương trình có nghiệm chung là x = -1

Vậy chọn câu C.

Bài 16 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Giải các phương trình:

a) 2x³ - x² + 3x + 6 = 0 ;     b) x(x+1)(x+4)(x+5) = 12

b) x.(x+1). ( x+ 4). (x+ 5) = 12

⇔ [ x. (x + 5)]. [(x+1). (x+ 4)] = 12

⇔ ( x² + 5x).(x² + 4x + x + 4) – 12=0

⇔ (x² + 5x).(x²+ 5x + 4) -12 = 0 (*)

Đặt t= x² + 5x + 2

=> x² + 5x = t – 2 và x² + 5x+ 4 = t+ 2

Khi đó phương trình (*) trở thành:

( t – 2). (t+ 2) - 12 = 0

⇔ t² – 4 – 12 = 0

⇔ t² – 16 = 0

⇔ t² = 16 ⇔ t= ±4

+ Với t = 4 ta có: x² + 5x + 2 = 4

⇔ x² +5x – 2 = 0 (**)

Có a= 1, b = 5, c = - 2 và ∆ = 5² – 4.1.(-2) = 33 > 0

Nên (**) có 2 nghiệm phân biệt là:

* Với t = - 4 ta có: x² + 5x + 2= - 4

⇔ x² + 5x + 6 = 0 (***)

Có a= 1, b = 5, c= 6 và ∆ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0

Phương trình (***) có 2 nghiệm là:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 17 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Một lớp học có 40 học sinh được xếp ngồi đều nhau trên các ghế băng. Nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh. Tính số ghế băng lúc đầu.

Gọi số ghế băng lúc đầu là x ( ghế băng), ( x∈N*, x> 2)

Số học sinh ngồi trên mỗi ghế là ( học sinh ) .

Khi bớt đi 2 ghế băng thì còn lại x- 2 ( ghế băng ) và khi đó, mỗi ghế có học sinh ngồi.

Theo giả thiết, nếu ta bớt đi 2 ghế băng thì mỗi ghế còn lại phải xếp thêm 1 học sinh nên ta có phương trình:

⇔ 40 x – x(x -2) = 40 (x- 2)

⇔ 40x – x² + 2x = 40x – 80

⇔ - x² + 2x + 80 = 0

Có a = -1, b= 2; c = 80 và ∆ = 2² – 4.(-1). 80 = 324

Nên phương trình trên có 2 nghiệm là: x1 = -8 ( loại) và x2 =10 ( thỏa mãn)

Vậy lúc đầu có 10 ghế băng.

Bài 18 trang 133 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.

Gọi số đo độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x(cm), y (cm)

( 0 < y < x < 10)

Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 2cm nên ta được x – y = 2 , (1).

Theo định lý Pytago ta có: x² + y² = 10² = 100 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Từ (1) suy ra: x= y+ 2 thay vào (2) ta được:

( y + 2)² + y² = 100

⇔ y²+ 4y + 4 + y² = 100

⇔ 2y² + 4y – 96 = 0 hay y² + 2y – 48 = 0

Giải ra ta được: y₁ = 6; y₂ = -8 < 0 ( loại)

Với y= 6 suy ra x = 8.

Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 6cm và 8cm.

B - Phần Hình Học

Bài 1 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Chu vi hình chữ nhật ABCD là 20cm. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường chéo AC.

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (x > 0, cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20 : 2 = 10 (cm)

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là : 10 – x (cm).

Theo định lý Pytago ta có:

AC² = x² + (10 – x)²

        = x² + 100 – 20x + x²

        = 2x² – 20x + 100

        = 2(x² – 10x + 25) + 50

        = 2.(x – 5)² + 50 ≥ 50.

⇒ AC ≥ 5√2

Dấu "=" xảy ra khi (x – 5)² = 0 ⇔ x = 5.

Vậy đường chéo AC nhỏ nhất là 5√2cm khi ABCD là hình vuông cạnh bằng 5cm.

Bài 2 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Tam giác ABC có góc B = 45^o, góc C = 30^o. Nếu AC = 8 thì AB bằng:

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải

Bài 3 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho tam giác ABC vuông ở C có đường trung tuyến BN vuông góc với đường trung tuyến CM, cạnh BC = a. Tính độ dài đường trung tuyến BN.

Bài 4 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Nếu tam giác ABC vuông tại C và có sinA = 2/3 thì tgB bằng:

Lời giải

Bài 5 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Tam giác ABC vuông tại C có AC = 15cm. Đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH và HB. Biết HB = 16cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 6 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Một hình chữ nhật cắt đường tròn như hình 121 biết AB = 4, BC = 5, DE = 3 (với cùng đơn vị đo).

Độ dài EF bằng:

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn. Từ O kẻ bán kính vuông góc với BC, cắt BC ở G, cắt EF ở H.

Ta có: G, H lần lượt là trung điểm BC và EF.

BG = BC/2 = 2,5

⇒ AG = AB + BG = 6,5

⇒ DH = AG = 6,5

⇒ EH = DH – DE = 3,5

⇒ EF = 2.EH = 7.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc DOE = 60^o.

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi.

b) Chứng minh ΔBOD ΔOED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Lời giải

c) Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R.

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB.

⇒ R = OK.

O ∈ đường phân giác của

⇒ OH = OK.

⇒ OH = R

⇒ DE tiếp xúc với (O; R) (đpcm).

Bài 8 trang 134 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài (R > r). Hai tiếp tuyến chung AB và A'B' của hai đường tròn (O),(O') cắt nhau tại P(A và A' thuộc đường tròn (O'), B và B' thuộc đường tròn (O)). Biết PA = AB = 4 cm. Tính diện tích hình tròn (O').

(O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau

⇒ OO’ = R + r.

O’A ⊥ BP, OB ⊥ BP ⇒ O’A // OB

⇒ ΔPAO’ ΔPBO

⇒ OB = 2.O'A hay R = 2.r

và OP = 2.O’P ⇒ O’P = OO’ = R + r = 3.r

ΔO’AP vuông tại A nên: O’P² = O’A² + AP²

⇔ (3r)² = r² + 4² ⇔ 8r² = 16 ⇔ r² = 2

Diện tích hình tròn (O’; r) là: S = π.r² = 2π (cm²).

Bài 9 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O') và ngoại tiếp đường tròn (O). Tia AO cắt đường tròn (O') tại D. Ta có:

(A) CD = BD = O'D ;    (B) AO = CO = OD

(C) CD = CO = BD ;      (D) CD = OD = BD

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

(hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

+ đều là các góc nội tiếp chắn

ΔOAB có là góc ngoài của tam giác

Từ (1) và (2) suy ra DB = DC = DO.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 10 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn(O). Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x + 75^o, 2x + 25^o, 3x - 22^o. Một góc của tam giác ABC có số đo là:

(A) 57^o5 ;     (B) 59^o ;     (C) 61^o ;     (D) 60^o

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Lời giải

Các cung tạo thành một đường tròn

⇒ x + 75º + 2x + 25º + 3x – 22º = 360º

⇒ 6x = 282º

⇒ x = 47º.

là các góc nội tiếp chắn các cung

Vậy chọn đáp án C.

Bài 11 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PAB và PCD tới đường tròn. Gọi Q là một điểm nằm trên cung nhỏ BD (không chứa A và C) sao cho . Tính tổng

Lời giải

Bài 12 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Một hình vuông và một hình tròn có chu vi bằng nhau. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn?

* Lưu ý:

+ Trong tất cả các hình phẳng kín có cùng chu vi, hình tròn có diện tích lớn nhất.

Bài 13 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Cho đường tròn (O), cung BC có số đo bằng 120^o, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Hỏi điểm D di chuyển trên đường nào?

⇒ D nằm trên cung chứa góc 30⁰ dựng trên đoạn BC.

+ Khi A ≡ C thì D ≡ C, khi A ≡ B thì D ≡ E (BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B).

Vậy khi A di chuyển trên cung lớn BC thì D di chuyển trên cung CE thuộc cung chứa góc 30º dựng trên BC.

Bài 14 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Dựng tam giác ABC, biết BC = 4cm, góc A = 60^o, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1cm.

Phân tích:

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

⇒ O thuộc cung m chứa góc 120º dựng trên đoạn BC.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1

⇒ O cách BC 1cm

⇒ O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung m và đường thẳng d.

+ Khi đó ta dựng được đường tròn (O; 1) nội tiếp ΔABC

⇒ A là giao của tiếp tuyến đi qua B và C của đường tròn (O; 1).

Cách dựng:

+ Dựng BC = 4cm

+ Dựng đường thẳng (d) song song với BC và cách BC một khoảng là 1 cm.

+ Dựng cung m chứa góc 120º trên đoạn BC.

+ (d) cắt cung m tại O.

+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính 1cm.

+ Kẻ tiếp tuyến từ B và C đến (O; 1cm).

Hai tiếp tuyến cắt nhau tại A.

ΔABC là tam giác cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 4cm .

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

⇒ (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

⇒ (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

⇒ (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

Vậy ΔABC có BC = 4cm, , đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình ΔABC và ΔA’BC như hình vẽ.

Bài 15 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh:

a) BD² = AD.CD

b) Tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp

c) BC song song với DE

Lời giải

b) ΔABC cân tại A

⇒ AB = AC

là các góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên ta có:

⇒ D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau

⇒ BCDE là tứ giác nội tiếp.

c. Tứ giác BCDE nội tiếp

⇒ BC // DE (hai góc đồng vị bằng nhau).

Bài 16 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Một mặt phẳng chứa trục OO' của một hình trụ; phần mặt phẳng nằm trong hình trụ là một hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm.Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó.

Xét hai trường hợp:

a) Đường cao hình trụ bằng 3cm, đường kính đáy trụ bằng 2cm (hình a)

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1cm.

S_xq = 2πRh = 2π.1.3 = 6π (cm²)

V = πR²h = π.1².3 = 3π (cm³)

b) Đường cao hình trụ bằng 2cm, đường kính đáy trụ bằng 3cm

⇒ bán kính đáy trụ: R = 1,5 cm

S_xq = 2πRh = 2π.1,5.2 = 6π (cm²)

V = πR²h = π.(1,5)².2 = 4,5π (cm³)

Bài 17 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Khi quay tam giác ABC vuông ở A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng BC = 4dm, góc ACB = 30^o. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.

Bài 18 trang 135 SGK Toán lớp 9 Tập 2 : Một hình cầu có số đo diện tích (đơn vị: m²) bằng số đo thể tích (đơn vị: m³). Tính bán kính hình cầu , diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---