Bài 56 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1

Ôn tập chương 2 - Phần Hình học

Bài 56 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB, AB = a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC.

Quảng cáo

a. Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

c. Tính diện tích tứ giác DEFG

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Quảng cáo

a) Gọi M là trung điểm của BC, ta có:

AM = MB = $\frac{1}{2}$ BC = a (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Suy ra MA = MB = AB = a.

Suy ra ΔAMB đều ⇒ $\hat{A B C}$ = 60^o

Mặt khác: $\hat{A B C} + \hat{A C B}$ = 90° (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: $\hat{A C B}$ = 90^o – $\hat{A B C}$ = 90^o – 60^o = 30^o

Trong tam giác vuông ABC, theo Py-ta-go, ta có:

BC² = AB²+ AC²

⇒ AC² = BC² − AB² = 4a² − a² = 3a²⇒ AC = $a \sqrt{3}$ .

Do đó S_ABC = $\frac{1}{2}$ .AB.AC $= \frac{1}{2} a . a \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ (đvdt).

b) Ta có: $\hat{F A B} = \hat{A B C}$ = 60^o

Mà $\hat{F A B}$ và $\hat{A B C}$ ở vị trí so le trong.

Nên FA // BC.

Và BC ⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ BE (tính chất từ vuông góc đến song song).

Vì BC ⊥ CD (vì BCDE là hình vuông) và FA // BC

Suy ra: FA ⊥ CD (tính chất từ vuông góc đến song song).

Gọi giao điểm BE và FA là H, FA và CD là K.

Suy ra BH ⊥ FA và FH = HA = $\frac{a}{2}$ (tính chất tam giác đều)

Ta có: $\hat{A C G} + \hat{A C B} + \hat{B C D}$ = 60^o + 30^o + 90^o = 180^o

Quảng cáo

Khi đó, ba điểm G, C, D thẳng hàng.

Suy ra AK ⊥ CG và GK = KC = $\frac{1}{2} G C = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Do đó, S_FAG = $\frac{1}{2}$ GK.AF = $\frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (đvdt);

S_FBE = $\frac{1}{2}$ FH.BE = $\frac{1}{2} . \frac{a}{2}$ .2a = $\frac{1}{2} a^{2}$ (đvdt);

Vậy diện tích tam giác FAG và tam giác FBE lần lượt là $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (đvdt) và $\frac{1}{2} a^{2}$ (đvdt).

c) S_BCDE = BC² = (2a)² = 4a² (đvdt).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆BHA vuông tại H, ta có: AH² + BH² = AB²

⇒ BH² = AB² − AH² = $a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow B H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

S_ABF = $\frac{1}{2}$ BH.FA = $\frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (đvdt).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆AKC vuông tại K, ta có: AC² = AK² + KC²

⇒ AK² = AC² − KC² = $3 a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4} = \frac{9 a^{2}}{4}$ .

$\Rightarrow A K = \frac{3 a}{2}$ .

Khi đó: S_ACG = $\frac{1}{2}$ AK.CG = $\frac{1}{2} . \frac{3 a}{2} . a \sqrt{3} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

Ta có:

S_DEFG = S_BCDE + S_FBE + S_FAB + S_FAG + S_ACG + S_ABC

$= 4 a^{2} + \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{(18 + 7 \sqrt{3}) a^{2}}{4} \approx 7, 53 a^{2}$ (đvdt).