Các dạng bài Phương trình chứa tham số (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)

Tài liệu Các dạng bài Phương trình chứa tham số ôn thi vào lớp 10 Toán năm 2023-2024 có lời giải chi tiết giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn luyện để chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Các dạng bài Phương trình chứa tham số (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ÔN THI VÀO 10

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình chứa tham số

1.Phương trình ax + b = 0 (1)

          - TH1:Nếu a = 0 thì (1) có dạng  b = 0 . Khi đó nếu b = 0 thì (1) có tập nghiệm là R, nếu b ≠ 0 thì (1) vô nghiệm 

          - TH2: Nếu a ≠ 0 thì . Khi đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất

          + Chú ý:  Nếu phương trình chưa ở dạng tổng quát ( ax + b = 0) thì phải biến đổi đưa về dạng tổng quát trước rồi mới giải và biện luận

2.Phương trình ax² + bx + c = 0 (2)

B₁: Nếu phương trình chưa ở dạng ax² + bx + c = 0 thì biến đổi đưa phương trình về đúng dạng này 

B₂: Nếu hệ số a chứa tham số ta xét 2 trường hợp 

• Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận phương trình bx + c = 0
• Trường hợp 2: a  ≠ 0, ta lập biểu thức ∆ = b² – 4ac. Khi đó :

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm 

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:  

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

               

          B₃: Kết luận

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x² – 3x + m = 0 

Giải

Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có hệ số a = 1 

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-3)² – 4.1.m = 9 – 4m

+ Nếu ∆ < 0 

 thì phương trình vô nghiệm 

+ Nếu ∆ = 0 

thì phương trình có nghiệm kép: 

+ Nếu ∆ > 0 

thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

       

Kết luận : - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

                - Nếu  thì phương trình có nghiệm kép

                 

                          - Nếu  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

                           

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình  mx² – x + 2 = 0(1) 

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành 

                    -x + 2 = 0 ⇔x = 2

Trường hợp 2: nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có 

          ∆ = b² – 4ac = (-1)² – 4.2.m = 1 – 8m

          + Nếu ∆ < 0 

         

           thì phương trình vô nghiệm 

+ Nếu ∆ = 0 

thì phương trình có nghiệm kép: 

+ Nếu ∆ > 0 

thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

Kết luận : - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

                - Nếu  hoặc m = 0 thì phương trình có 1 nghiệm

                          - Nếu  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

                                                 

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình  mx – x + 1 = 0(1) 

Giải

Phương trình (1)⇔(m-1)x + 1 = 0 (2) 

Nếu m – 1 = 0 ⇔m = 1 thì (2) có dạng 1 = 0 ( vô nghiệm )

Nếu m – 1 ≠ 0 ⇔m ≠ 1 thì 

Kết luận 

          Nếu m = 1 thì phương trình (1) vô nghiệm

          Nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất 

Dạng 2: Tìm tham số thỏa mãn yêu cầu của bài toán

1.Phương trình ax + b = 0 (1)

- Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là a ≠ 0

- Điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm  là a = 0 và b ≠ 0

- Điều kiện để phương trình (1) có vô số nghiệm duy nhất là a = 0 và b = 0

2.Phương trình ax² + bx + c = 0 (2)

a. Điều kiện để phương trình

1. Có nghiệm ⇔∆ ≥ 0

2. Vô nghiệm ⇔∆ < 0

3. Có nghiệm kép ⇔∆ = 0

4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔∆ > 0

5. Hai nghiệm cùng dấu⇔∆ ≥ 0 và P > 0

6. Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0

7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0)⇔∆ ≥ 0 ; S > 0 và P > 0

8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔∆ ≥ 0; S < 0 và P > 0

9. Hai nghiệm đối nhau⇔∆ ≥ 0 và S = 0

10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau⇔∆ ≥ 0 và P = 1

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi

 ac < 0 và S > 0

b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x₁ = px₂ (với p là một số thực)

          B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

          B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm: (1) và   (2)

          B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:

           

                    ⇒ x₁ và x₂

          B4- Thay x₁ và x₂ vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

c. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện:

          - Bình phương trình hai vế:

- Áp dụng định lý Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂ thay vào biểu thức⇒ kết luận.

d. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: 

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂  (*)

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

          Ta có 

          (*).

          Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

          Ta có  

           (*).

           Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x₁ < α < x₂

Ta có (*) .Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

Ví dụ 1: 

a) Tìm m để phương trình (5 – m) x + 4m – 2 = 0 vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình m²x + m – 2 = x + 1 có vô số nghiệm

Giải

a) Phương trình đã cho vô nghiệm

 

 Vậy với m = 5 thì phương trình vô nghiệm

b) Phương trình m²x + m – 2 = x + 1

⇔m²x + m – 2 - x – 1 = 0

⇔(m² – 1)x + m – 3 = 0

Phương trình đã cho có vô số nghiệm 

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có vô số nghiệm

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình  x² – (m² + 1)x +m² – 7m + 12 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Giải

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0

                             

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 3: Cho phương trình: x² – 2mx – 6m - 9 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thỏa mãn

Giải

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: 

Theo Vi-et ta có:

Suy ra

 

Với  không thỏa mãn (*) nên loại

Với  thỏa mãn (*) nên nhận

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm m để phương trình: 2x² – 4x + 5(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Bài 2: Tìm m để phương trình: x² + mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m.

Bài 3: Tìm a để phương trình x² + ax – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2

Bài 4: Tìm k để phương trình x² + (2k + 1)x + k² = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1

Bài 5: Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + 4m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.

c) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

d) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).

e) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

f) Định m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thoả mãn 2x₁ – x₂ = - 2.

g) Định m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ sao cho A = 2x₁² + 2x₂² – x₁x₂ nhận giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) (m + 1)x² – 2(m + 1)x + m – 3 = 0  ;    

(4x₁ + 1)(4x₂ + 1) = 18

b) mx² – (m – 4)x + 2m = 0  ;                    

2(x₁² + x₂²) = 5x₁x₂

c) (m – 1)x² – 2mx + m + 1 = 0  ;            

4(x₁² + x₂²) = 5x₁²x₂²

d) x² – (2m + 1)x + m² + 2 = 0  ;             

3x₁x₂ – 5(x₁ + x₂) + 7 = 0.

Bài 7: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a) x² + 2mx – 3m – 2 = 0  ;                               

2x₁ – 3x₂ = 1

b) x² – 4mx + 4m² – m = 0  ;                                       

x₁ = 3x₂

c) mx² + 2mx + m – 4 = 0  ;                                        

2x₁ + x₂ + 1 = 0

d) x² – (3m – 1)x + 2m² – m = 0 ;                      

x₁ = x₂²

e) x² + (2m – 8)x + 8m³ = 0  ;                                     

x₁ = x₂²

f) x² – 4x + m² + 3m = 0  ;                                

x₁² + x₂ = 6.

Bài 8: Cho phươnmg trình: (m + 2)x² – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ ; x₂ sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

Bài 9: Cho phương trình bậc hai: x² – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ sao cho biểu thức  đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 10: Định m để phương trình mx² – (m + 3)x + 2m + 1 = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 2.

Bài 11: Gọi x₁ ; x₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x² + mx + 25 = 0. Chứng minh rằng |x₁ + x₂| > 10.

Bài 12: Cho phương trình: x² + mx - 5 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 11.

Bài 13: Tìm m để phương trình: (m -  1)x² + 2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 14: Cho phương trình: x² – (m + 2)x – 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ , x₂  là các số nguyên.

Bài 15: Cho phương trình: x² - (m + 5)x + 3m + 6 = 0.  Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂  là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

Bài 16: Giải và biện luận các phương trình sau

          a) m(x – 1) + 4x = 5

          b) x + 4m² = 2mx + 1

          c)  mx = m + 12 

Bài 17: Giải và biện luận các phương trình sau

         

Bài 18: Tìm m để phương trình sau có một nghiệm duy nhất

         

Bài 19: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

          a) 5m²x + 7 = x – m

          b) 9mx – 3x = 4m + x

Bài 20: Tìm m để phương trình sau có vô số nghiệm

          a) x – 5m = mx +10

          b) (m – 2)x + 4m – 1 = 0

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Xem thêm bộ tài liệu các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán chọn lọc, hay khác:

• Các dạng bài Đồ thị hàm số (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)
• Các dạng toán Hệ thức Vi-et ôn thi vào lớp 10 năm 2024
• Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10 năm 2024
• Các dạng toán thực tế ôn thi vào lớp 10 năm 2024
• Các dạng toán Hình học ôn thi vào lớp 10 năm 2024

---