Các dạng bài Rút gọn biểu thức (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)

Tài liệu Các dạng bài Rút gọn biểu thức ôn thi vào lớp 10 Toán năm 2024 có lời giải chi tiết giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn luyện để chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Các dạng bài Rút gọn biểu thức (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

RÚT GỌN BIỂU THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

 Phương pháp

Để tìm điều kiện xác định của biểu thức ta làm như sau

          B1: Đưa ra điều kiện xác định của biểu thức trong đó lưu ý một số kiến thức sau

           xác định ⇔A ≥ 0 (biểu thức A là đa thức)

           xác định ⇔ B ≠ 0 (biểu thức A, B là đa thức)

           xác định ⇔ B > 0 (biểu thức A, B là đa thức)

          B2: Giải điều kiện và kết hợp các điều kiện

          B3: Kết luận

Ví dụ 1

Tìm điều kiện xác định của biểu thức 

Giải

Điều kiện 

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 1

Ví dụ 2

Tìm điều kiện xác định của biểu thức 

Giải

Điều kiện xác định của P là 

Vậy điều kiện xác định của P là x ≥ 0 và x ≠ 9

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, chứa phân thức đại số

Phương pháp

Bước 1:	Tìm điều kiện xác định.
Bước 2:	Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử.

 Ở bước này ta hay áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như:

          Sử dụng hằng đẳng thức 

          Sử dụng hằng đẳng thức  

         

          Sử dụng hằng đẳng thức 

         

          Sử dụng hằng đẳng thức

         

          Sử dụng hằng đẳng thức 

         

          + Đổi dấu phân thức:

Bước 3:	Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.
Bước 4:	Khi nào phân thức tối giản thì ta hoàn thành việc rút gọn.

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức 

với x > 0, x ≠ 4

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Chú ý: Ví dụ trên đề bài đã cho trước điều kiện của biểu thức nên ta không phải đi tìm. Nếu đề bài chưa cho điều kiện xác định ta phải tìm điều kiện trước rồi mới rút gọn 

Ví dụ 2

Rút gọn biểu thức 

với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9

Giải

Vậy kết quả rút gọn biểu thức đã cho là:

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến

 Phương pháp

Bài toán: Cho biểu thức P(x) tính giá trị của biểu thức khi x = a (a là số thực)

Cách giải: 

           + Nếu biểu thức P(x) đã rút gọn thì trong biểu thức ta thay x bởi a rồi tính

          + Nếu biểu thức P(x) chưa rút gọn thì ta rút gọn P(x) rồi thay x bởi a và tính

Chú ý: Đôi khi ta cũng phải biến đổi số thực a trước rồi mới thay vào biểu thức P(x)

Ví dụ 1: Cho biểu thức 

với x > 0 

Tính giá trị của P khi x = 4

Giải

Ta thấy x = 4 thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi 

x = 4

Khi x = 4 thì 

Vậy khi x = 4 thì      

Ví dụ 2: Cho biểu thức 

 với x > 0 và x ≠ 4. Tính giá trị của P khi 

Giải

Ta thấy thỏa mãn điều kiện xác định nên tồn tại giá trị của biểu thức P khi

Ta có 

Khi  thì

Vậy khi thì

Dạng 4: Tính giá trị của biến để biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Phương pháp

Bài toán 1: Tìm x để P(x) = Q (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải: 

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Xét phương trình P(x) = Q, giải phương trình tìm x

          B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Bài toán 2: Tìm x để P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a (Q có thể là một số hoặc một biểu thức cùng biến với biểu thức P)

Cách giải: 

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Xét phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a, giải bất phương trình tìm x

          B3: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho với x ≥ 0. Tìm x biết

Giải

Đặt  (t ≥ 0), khi đó phương trình (*) trở thành:

Ta có nên phương trình  có hai nghiệm phân biệt

 (nhận) , (loại)

Với

                              

Ta thấy > 0 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0)

Vậy với thì

Ví dụ 2: Cho với x ≥ 0, x ≠ 4. Tìm x biết P>1

Giải

Vì -1 < 0 nên bất phương trình 

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4 ta có các giá trị x cần tìm là 0 ≤ x < 4  

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên

 Phương pháp

TH 1: Nếu ( a là số thực, Q(x) là một biểu thức của x) thì ta làm như sau

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Lập luận để biểu thức  nhận giá trị nguyên thì Q(x) phải là ước của a. Từ đó tìm x

          B3: Đối chiếu x tìm được với điều kiện nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

TH 2: Nếu ( A(x), B(x) là các biểu thức của x trong đó bậc của A(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của B(x)) thì ta làm như sau

          B1: Tìm điều kiện xác định của P(x)

          B2: Lấy A(x) chia cho B(x) đưa P(x) về dạng

          ( a là số thực)

          B3: Làm tương tự trường hợp 1

Ví dụ 1: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0

Để P nguyên thì là ước của 3, tức là  nhận các giá trị -3, 3, -1, 1

Vậy với x = 0, x = 4 thì biểu thức P nguyên

Ví dụ 2: Cho . Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0, x ≠ 4

Ta có 

Để P nguyên thì là ước của 4, tức là  nhận các giá trị -4, 4, -1, 1, -2, 2

Vậy với x = 0, x = 1, x = 9, x = 16, x = 36 thì biểu thức P nguyên

Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn yêu cầu cho trước

 Phương pháp

Để chứng minh biểu thức P thỏa mãn yêu cầu cho trước ta làm như sau

          +B1: Tìm điều kiện xác định của P

          +B2: Rút gọn P nếu cần

          +B3: Chứng minh yêu cầu đề bài đặt ra

 Ví dụ 1

Cho ,

chứng minh rằng

Giải

Ta có 

Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 1

Rút gọn biểu thức 

         

Ta có 

Vì x ≥ 0 nên do đó . Nhân hai vế của (*) với ta được bất đẳng thức cùng chiều

 

(luôn đúng với mọi x ≥ 0, x ≠ 1)

Vậy với mọi x ≥ 0, x ≠ 1 thì

Ví dụ 2: 

Cho biểu thức

 với 0 < a < 1. 

Chứng minh rằng P = –1

Giải

Với 0 < a < 1 ta có:

Vậy P = -1(ta có điều phải chứng minh)

Dạng 7: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

 Phương pháp

Cách 1: Ta biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm và một hằng số

          - Nếu biến đổi biểu thức về dạng tổng của một biểu thức không âm và một hằng số ta tìm được GTNN 

          - Nếu biến đổi biểu thức về dạng hiệu của một hằng số và một biểu thức không âm ta tìm được GTLN

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

          Cho hai số không âm a và b ta có:

         

          Dấu ‟ = ” xảy ra khi a = b

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

           

 Dấu ‟ = ” xảy ra khi a.b ≥ 0

Ví dụ 1: Cho , tìm GTLN của biểu thức P

Giải

Điều kiện xác định của P là: x ≥ 0 

Ta có x ≥ 0

Dấu ‟ = ” xảy ra x = 0

Vậy GTLN của P là 3/2 đạt được khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 2: 

Cho

tìm GTLN của biểu thức Q

Giải

Với  thì

Vậy với  thì

Vì với mọi nên với mọi

với mọi

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 1/2 khi x = 0 (thỏa mãn  )

Ví dụ 3: Cho biểu thức , với . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q

Giải

Với , ta có:

Áp dụng Co-si cho hai số dương:  ta có

Dấu “=” xảy ra khi

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 6 đạt được khi x = 9

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho biểu thức 

, với

a. Rút gọn biểu thức P.

b. So sánh P với 5.

Bài 2: Cho

 với

a. Rút gọn biểu thức P

b. Tìm x để .

Bài 3: Cho biểu thức

a. Rút gọn M                                   

b. Tìm x nguyên để M có giá trị nguyên

Bài 4: Cho biểu thức

a. Rút gọn P                   

 b. Tìm x để P = 2      

Bài 5: Cho hai biểu thức

và

Với

a. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4                         

b. Rút gọn biểu thức A

c. Tìm x để A = B

Bài 6: Cho biểu thức 

a. Rút gọn P;

b. Tính giá trị của P khi ;

c. Tìm x để P = 2.

Bài 7: Cho biểu thức 

a. Rút gọn P;

b. Tìm các giá trị của x để P > 0;

c. Tìm các giá trị của x để P < 1

Bài 8: Cho biểu thức 

a. Rút gọn P;

b. Tìm x để ;

c. Chứng minh rằng với những giá trị của x làm cho P được xác định thì P<1. 

Bài 9: Cho biểu thức 

a. Rút gọn P;

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 

c. Tìm x để .

Bài 10: Cho biểu thức: 

, với x > 0.

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm giá trị của P khi x = 4. 

c. Tìm x để P =

Bài 11: Cho biểu thức:

, với x ≥ 0 và x ≠ 25.

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm giá trị của A khi x = 9. 

c. Tìm x để .

Bài 12: Cho biểu thức: 

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức  nhận giá trị nguyên.

Bài 13: Cho biểu thức: và  

( Với  )

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tính giá trị của A khi .

c. Tìm x để biểu thức .

d. Tìm các giá trị m để có x thỏa mãn .

Bài 14: Cho biểu thức

a. Nêu điều kiện xác định và rút biểu thức A          

b.Tim giá trị của x để  .

c.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 15: Cho biểu thức  

  a.  Rút gọn P  

 b.  Tìm giá trị của x để  P = -1

 c.  Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có:

Bài 16: Cho biểu thức 

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M

b. Tìm x để M = 5

c. Tìm x∈ Z để M∈ Z.

Bài 17: 1) Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi x = 36

          2) Rút gọn biểu thức 

 

(với )

          3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên

Bài 18: Cho biểu thức

 với

a) Rút gọn B. 

b) Tìm các số nguyên để B nhận giá trị nguyên

Bài 19: Cho biểu thức

 (với )

          a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị biểu thức P khi

Bài 20: Với x > 0, cho hai biểu thức

và

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm x để

Bài 21: Cho biểu thức

( Với )

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.

Bài 22: Cho biểu thức 

, (với x > 0 và x ≠ 1).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức P tại .

Bài 23: Cho biểu thức

 (với  và ).

Tìm tất cả các giá trị của x để B > 0

Bài 24: Cho hai biểu thức

 và  với .

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9.

2) Chứng minh rằng .

3) Tìm tất cả các giá trị của x để .

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Xem thêm bộ tài liệu các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán chọn lọc, hay khác:

• Các dạng bài Giải phương trình (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)
• Các dạng bài Giải hệ phương trình (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)
• Các dạng bài Giải bất phương trình (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)
• Các dạng bài Đồ thị hàm số (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)
• Các dạng bài Phương trình chứa tham số (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)

---