Các dạng toán Hệ thức Vi-et (ôn thi vào lớp 10 năm 2024)

Tài liệu Các dạng toán Hệ thức Vi-et ôn thi vào lớp 10 năm 2023-2024 có lời giải chi tiết giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn luyện để chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Các dạng toán Hệ thức Vi-et (ôn thi vào lớp 10 năm 2024)

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Chỉ từ 150k mua trọn bộ Đề ôn thi vào 10 môn Toán năm 2024 bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

CÁC DẠNG TOÁN VI-ET THI VÀO 10

Dạng 1: Bài toán nhẩm nghiệm

Phương pháp 

          - Để nhẩm nghiệm của phương trình  ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:

                    + B1: Tính ∆ = b² – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì không tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ 

 + B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Vi-et ta nhẩm nghiệm như sau:

                    - Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x² + bx + c = 0(*) ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm ra 2 số thỏa mãn tổng bằng –b và tích bằng c. Hai số tìm được là nghiệm của phương trình x² + bx + c = 0. Tóm lại trong trường hợp này ta có  kết quả sau

             

               - Nếu hệ số a ≠ 1 ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng (*) rồi nhẩm nghiệm

                    - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm :

                   

                    - Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm :

                   

Ví dụ : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau

a. x² – 11x + 30 = 0

b. x² – 12x + 27 = 0

c. 2x² + 3x + 1 = 0

d. 3x² – 2x - 1 = 0

Giải

a. Phương trình đã cho có ∆ = 11² – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có   

           Ta thấy 30 = 15.2 = (-15).(-2) = 10.3 = (-10).(-3) = 6.5 = (-6).(-5) nhưng ta      cần chọn hai số có tổng bằng 11 nên hai số thỏa mãn (*) là 6 và 5

Suy ra các nghiệm của phương trình là : x₁ = 5, x₂ = 6  

b. Phương trình đã cho có ∆ = 12² – 4.27 = 144 – 108 = 36 > 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có

Ta thấy 27 = 9.3 = (-9).(-3) = 1.27 = (-1).(-27) nhưng ta cần chọn hai số có    tổng bằng 12 nên hai số thỏa mãn (*) là 9 và 3

Suy ra các nghiệm của phương trình là : x₁ = 3, x₂ = 9  

c. Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là :

d. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0

Suy ra các nghiệm của phương trình là :

Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp

- Bài toán: Tìm hai số u và v biết: u + v = S, u.v = P 

- Cách giải: 

+ Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S² < 4P thì không tồn tại hai số u và v, nếu S² ≥ 4P thì tồn tại hai số u và v

+ Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình                

                                            x² – Sx + P = 0 

Ví dụ: Tìm hai số biết

a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11

b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180

Giải

a.Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S² ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm 

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x² – 8x + 11 = 0

                      ∆ = (-8)² – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0 

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt  

           

Vậy hai số cần tìm là:

b.Với S = 17, P = 180 thì S² = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Dạng 3: Tính giá trị hoặc viết biểu thức liên hệ giữa các nghiệm

Phương pháp 

 Định lý Vi-et: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

                                                  

*) Sử dụng định lý Vi-et không cần giải phương trình ta vẫn có thể tính được tổng và tích các nghiệm hoặc các biểu thức có liên quan đến tổng và tích các nghiệm thông qua các bước sau:

                    + B1: Tính ∆ = b² – 4ac. Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm do đó  không tồn tại tổng và tích các nghiệm của phương trình. Nếu  ∆ ≥ 0 thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂, ta thực hiện bước 2 

                    + B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 áp dụng Vi-et ta có

         

Một số hệ thức thường gặp:

*)Để tìm hệ thức giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số ta làm như sau:

          B1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ (∆ ≥ 0)

          B2: áp dụng Vi-et tìm

         

          B3: Biến đổi kết quả không chứa tham số nữa

Ví dụ 

Ví dụ 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau

a. x² – 6x + 7 = 0

b. 5x² – 3x + 1 = 0

Giải

a. Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = (-3)² – 7 = 9 – 7 = 2 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo Vi-et ta có:

Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7

b. Ta có ∆ = b² – 4ac = (-3)² – 4.5.1 = 9 – 20 = -11 < 0 nên phương trình vô nghiệm 

Suy ra không tồn tại tổng và tích các nghiệm

Ví dụ 2: Biết x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình: x² – 5x + 2 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức

Giải

Vì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ nên theo Vi-et ta có:

Vậy A = 21

Ví dụ 3: Cho phương trình x² – 2(m-1)x +m- 3 = 0(m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Giải

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ 

 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Lấy (1) – (2): x₁ + x₂ - 2 x₁x₂ = 4 không phụ thuộc vào m. 

Dạng 4: Sử dụng hệ thức Vi-et để xác định tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai( hai nghiệm trái dấu, cùng dấu,...)

Phương pháp: cho phương trình ax² + bx + c =0(a ≠ 0)

a. Điều kiện để phương trình

1. Hai nghiệm cùng dấu ⇔∆ ≥ 0 và P > 0

2. Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0

3. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔∆ ≥ 0; S > 0 và P > 0

4. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔∆ ≥ 0; S < 0 và P > 0

5. Hai nghiệm đối nhau ⇔∆ ≥ 0 và S = 0

6. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔∆ ≥ 0 và P = 1

7. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0

8. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi

 ac < 0 và S > 0

b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x₁ = px₂ (với p là một số thực)

          B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

          B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm: (1) và (2)

          B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình:

         

                    ⇒ x₁ và x₂

          B4- Thay x₁ và x₂ vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

c. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: 

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁x₂  (*)

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

          Ta có

         

          Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

          Ta có 

         

          Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x₁ < α < x₂

Ta có (*) .Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho phương trình x² + 5x + 3m - 1 =0(x là ẩn số, m là tham số) 

a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm 

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 

Giải

 a. Phương trình có 2 nghiệm khi

Vậy với  thì phương trình có hai nghiệm

b. Với thì phương trình có 2 nghiệm x₁ , x₂

Áp dụng hệ thức Vi-ét 

Ta có: 

Ta có

Vì nên 26 – 3m ≠ 0

Chia hai vế của (*) cho ta được

Kết hợp suy ra . Thay vào suy ra (thỏa mãn )

Vậy  là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - 10mx + 9m =0(m là tham số) 

 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt

Giải

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là

Vậy với  thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Bài tập vận dụng

Bài 1: Gọi x₁ ; x₂ là các nghiệm của phương trình: x² – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính:

Bài 2: Gọi x₁ ; x₂ là hai nghiệm của phương trình: 5x² – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

Bài 3: Cho phương trình x² +2x – m²= 0

 Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa:

Bài 4: Tìm m để phương trình x² – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

Bài 5:Tìm  giá trị m để phương trình  x² – 2(m – 1)x +m – 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

Bài 6:Tìm  giá trị m để phương trình 2x² +mx +m – 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

Bài 7:Cho phương trình:. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.

Bài 8:Tìm m để phương trình  mx² – (5m – 2)x + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm đối nhau.

Bài 9: Cho phương trình: x² – 2mx – 6m – 9 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thỏa mãn

Bài 10: Cho phương trình: x² – 2mx +2m – 4 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2020 để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.

Bài 11: Tìm hai số u và v biết

a. u + v = 15 và u.v = 36

b. u + v = 4 và u.v = 7

c. u + v = -12 và u.v = 20 

Bài 12: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v

Bài 13: Tìm hai số x, y biết x² + y² = 61 và xy = 30

Bài 14: Cho phương trình x² – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Bài 15: Cho phương trình x² – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Bài 16: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:

Bài 17: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:             

Bài 18: Cho phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 19: Cho phương trình x² + 2(m + 1)x + 2m = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 20: Cho phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

Bài 21: Cho phương trình (m + 2)x² - (m + 4)x + 2 - m = 0 (m là tham số). Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.

Bài 22: Cho phương trình mx² + 2(m – 2)x + m – 3 = 0 (m là tham số). Khi phương trình có nghiệm, tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho  không phụ thuộc vào m

Bài 23: Cho phương trình x²– (2m – 2)x + m² + 3m + 2= 0

 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 

Bài 24: Cho phương trình bậc hai: x²+ 2(m – 1)x –(m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 2 

Bài 25: Cho phương trình bậc hai x²+ 2(m – 1)x –(m + 1)= 0

Tìm giá trị m để phương trình có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn .

Xem thử Đề ôn vào 10 Xem thử Đề vào 10 Hà Nội Xem thử Đề vào 10 TP.HCM Xem thử Đề vào 10 Đà Nẵng

Xem thêm bộ tài liệu các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán chọn lọc, hay khác:

• Các dạng bài Phương trình chứa tham số (ôn thi vào lớp 10 Toán 2024)
• Các dạng bài Giải bài toán bằng cách lập phương trình ôn thi vào 10 năm 2024
• Các dạng toán thực tế ôn thi vào lớp 10 năm 2024
• Các dạng toán Hình học ôn thi vào lớp 10 năm 2024
• Các dạng Toán nâng cao ôn thi vào lớp 10 năm 2024

---