Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 trong Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 57.

Giải Toán 10 trang 57 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

+) Ta có: $\overrightarrow{AB}$(4; 1)

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}$(4; 1) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AB là $\overrightarrow{n_{AB}}$(1; -4). Khi đó phương trình đường thẳng AB là:

1(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ x – 4y + 3 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ C là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB:

+) Ta có:$\overrightarrow{AC}$(3; 3)

Đường thẳng AC nhận $\overrightarrow{AC}$(3; 3) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của AC là $\overrightarrow{n_{AC}}$(1; -1). Khi đó phương trình đường thẳng AC là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0

⇔ x – y = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ B là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC:

+) Ta có: $\overrightarrow{BC}$(-1; 2)

Đường thẳng BC nhận $\overrightarrow{BC}$(-1; 2) làm vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của BC là $\overrightarrow{n_{BC}}$(2; 1). Khi đó phương trình đường thẳng BC là:

2(x – 4) + 1(y – 4) = 0

⇔ 2x + y – 12 = 0.

Độ dài đường cao kẻ từ A là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

Vậy khoảng cách của các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác lần lượt là: $\frac{9}{\sqrt{5}};\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{9}{\sqrt{17}}$.

Vận dụng 6 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 4x – 3y + 2 = 0 và d₂: 4x – 3y + 12 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng d₁: 4x – 3y + 2 = 0 có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$;

Đường thẳng d₂: 4x – 3y + 12 = 0 có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}$;

Ta thấy $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$. Suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương.

Do đó d₁ // d₂ hoặc trùng nhau.

Lấy M(1; 2) thuộc đường thẳng d₁, thay tọa độ điểm M vào phương trình d₂ ta được:

4.1 – 3.2 + 12 = 0 ⇔ 10 = 0 là mệnh đề sai.

Do đó M không thuộc đường thẳng d₂.

Suy ra d₁ song song với d₂.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d₂ bằng:

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 2.

Bài 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1);

b) d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; -2);

c) d đi qua P(1; 1) và có hệ số góc k = -2;

d) d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2).

Lời giải:

a) Phương trình tham số d đi qua điểm A(-1; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1) là:

Ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 1) nên vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(1; -2). Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

1(x + 1) – 2(y – 5) = 0

⇔ x – 2y + 11 = 0.

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và x – 2y + 11 = 0.

b) d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; -2);

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (3; -2) là: 3(x – 4) – 2(y + 2) = 0

⇔ 3x – 2y – 16 = 0.

Ta có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(3; -2) nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 3).

Phương trình tham số d đi qua điểm B(4; -2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; 3) là:

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và 3x – 2y – 16 = 0.

c) Gọi phương trình d có dạng y = ax + b

Ta có hệ số góc k = -2 nên a = -2.

Khi đó phương trình đường thẳng d là: y = -2x + b (1).

Vì d đi qua P(1; 1) nên thay tọa độ điểm P vào (1) ta được: 1 = -2.1 + b

⇔ b = 3.

Do đó phương trình đường thẳng d là: y = -2x + 3 hay 2x + y – 3 = 0.

Suy ra vectơ pháp tuyến đường thẳng d là $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) khi đó vectơ chỉ phương đường thẳng d là $\overrightarrow{u}$ = (1; -2)

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và 2x + y – 3 = 0.

d) Ta có: $\overrightarrow{QR}\left(-3;2\right)$

Đường thẳng d đi qua hai điểm Q(3; 0) và R(0; 2) nhận $\overrightarrow{QR}\left(-3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Ta có $\overrightarrow{QR}\left(-3;2\right)$ làm vectơ chỉ phương của d nên vec tơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}$(2; 3). Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

2(x – 3) + 3(y – 0) = 0

⇔ 2x + 3y – 6 = 0.

Vậy phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d lần lượt là: và 2x + 3y – 6 = 0.

Bài 2 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết A(2; 5), B(1; 2) và C(5; 4).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tham số của trung tuyến AM.

c) Lập phương trình của đường cao AH.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}$(4; 2) là VTCP của đường thẳng BC. Do đó VTPT của đường thẳng BC là $\overrightarrow{n_{BC}}$(1; -2).

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:

1.(x – 1) – 2(y – 2) = 0

⇔ x – 2y + 3 = 0

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là x – 2y + 3 = 0.

b) Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Khi đó tọa độ điểm M là: M(3; 3)

Ta có $\overrightarrow{AM}$(1; -2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM. Do đó phương trình tham số đường thẳng AM đi qua điểm M(3; 3) nhận $\overrightarrow{AM}$(1; -2) là vectơ chỉ phương là:

Vậy phương trình tham số đường thẳng AM là:

c) Ta có: $\overrightarrow{BC}\left(4;2\right)$

Vì BC ⊥ AH nên $\overrightarrow{BC}\left(4;2\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AH.

Phương trình của đường cao AH đi qua A(2; 5) và nhận $\overrightarrow{BC}\left(4;2\right)$ làm vectơ pháp tuyến là: 4(x – 2) + 2(y – 5) = 0

⇔ 2x + y – 9 = 0.

Vậy phương trình đường cao AH là 2x + y – 9 = 0.

Bài 3 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau:

a) ∆ đi qua A(2; 1) và song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0;

b) ∆ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng 3x + y + 9 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(3; 1)

Do đường thẳng ∆ song song với đường thẳng 3x + y + 9 = 0 nên vectơ pháp tuyến của ∆ trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x + y + 9 = 0 là $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(3; 1).

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1) nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(3; 1) làm VTPT là:

3(x – 2) + 1(y – 1) = 0

⇔ 3x + y – 7 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(3; 1) là VTPT của đường thẳng ∆ nên VTCP của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(1; -3). Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 1) và nhận $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(1; -3) làm VTCP:

Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 3x + y – 7 = 0 và phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

b) ∆ đi qua B(-1; 4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0.

Đường thẳng 2x – y – 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$(2; -1)

Do đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng 2x – y – 2 = 0 nên vectơ chỉ phương của ∆ trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x – y – 2 = 0 là $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(2; -1).

Khi đó phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm B(-1; 4) và nhận $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(2; -1) làm VTCP:

Ta có $\overrightarrow{u_{\Delta }}$(2; -1) là VTCP của đường thẳng ∆ nên VTPT của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(1; 2).

Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(-1; 4) nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}$(1; 2) làm VTPT là:

1(x + 1) + 2(y – 4) = 0

⇔ x + 2y – 7 = 0.

Vậy Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là x + 2y – 7 = 0 và phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

Bài 4 trang 57 Toán lớp 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

a) d₁: x – y + 2 = 0 và d₂ : x + y + 4 = 0;

b)

c)

Lời giải:

a) Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}$= (1; −1)

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}$= (1; 1).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$.$\overrightarrow{n_2}$ = 1. 1 + 1. (−1) = 0 ⇒ $\overrightarrow{n_1}$ ⊥$\overrightarrow{n_2}$.

⇒ d₁ ⊥ d₂.

Vậy d₁ vuông góc với d₂.

b) Đường thẳng d₁ có VTCP là $\overrightarrow{u_1}$ = (2; 5) ⇒ VTPT của d₁ là $\overrightarrow{n_1}$= (5; −2).

Đường thẳng d₂ có VTCP là $\overrightarrow{n_2}$ = (5; −2).

⇒ $\overrightarrow{n_1}$= $\overrightarrow{n_2}$ . Do đó, d₁ và d₂song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm M(1; 3) ∈ d₁, thay tọa độ của M vào phương trình d₂, ta được: 5. 1 − 2. 3 + 9 = 0

⇒ M ∉ d₂.

⇒ d₁ // d₂.

Vậy đường thẳng d₁ song song với đường thẳng d₂.

c) Đường thẳng d₁ có VTPT là $\overrightarrow{u_1}$ = (−1; 3) ⇒$\overrightarrow{n_1}$ = (3; 1) là vectơ pháp tuyến của d₁.

Đường thẳng d₂ có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$ = (3; 1)

⇒ $\overrightarrow{n_1}$= $\overrightarrow{n_2}$.

Do đó, d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm N(2; 5) ∈ d₁, thay tọa độ của điểm N vào phương trình d₂, ta được: 3. 2 + 5 − 11 = 0

⇒ N ∈ d₂.

Suy ra d₁ trùng d₂.

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ trùng nhau.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ hay khác:

• Giải Toán 10 trang 46 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 47 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 48 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 49 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 51 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 53 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 54 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 56 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 58 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

• Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

• Toán 10 Bài tập cuối chương 9

• Toán 10 Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

• Toán 10 Bài 2: Xác suất của biến cố

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---