Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 57.

Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|k t| |\vec{u}| .$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

d) Hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

Lời giải:

Quảng cáo

a) Ta có:

$|k (t \vec{u})| = |k| |t \vec{u}| = |k| |t| |\vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

và $|(k t) \vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

Suy ra $|k (t \vec{u})| = |(k t) \vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

Do đó hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|k t| |\vec{u}| .$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vectơ $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với vectơ $\vec{u}$ khi kt ≥ 0. (1)

Nếu t > 0 thì k ≥ 0 (do kt ≥ 0) và $t \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ cùng hướng với $t \vec{u}$ , nên cũng cùng hướng với $\vec{u}$ . (2)

Nếu t < 0 thì k ≤ 0 (do kt ≥ 0) và $t \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $t \vec{u}$ , nên cùng hướng với $\vec{u}$ . (3)

Nếu t = 0 thì $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ đều bằng vectơ $\vec{0}$ , do đó cả hai vectơ đều cùng hướng với $\vec{u}$ . (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Vectơ $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với vectơ $\vec{u}$ khi kt < 0. (5)

Nếu t > 0 thì k < 0 (do kt < 0) và $t \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $t \vec{u}$ , nên $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $\vec{u}$ . (6)

Nếu t < 0 thì k > 0 (do kt < 0) và $t \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ cùng hướng với $t \vec{u}$ , nên $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $\vec{u}$ . (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài (theo ý a)

Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

Suy ra hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng .

Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

Suy ra hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k (t \vec{u}) = (k t) \vec{u}$

Vậy khẳng định d) đúng.

HĐ4 trang 57 Toán 10 Tập 1: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ . Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3 (\vec{u} + \vec{v})$ và $3 \vec{u} + 3 \vec{v}$ .

HĐ4 trang 57 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 10

Lời giải:

Quảng cáo

Xét hình bình hành OEMF, ta có:

$\vec{u} + \vec{v} = \vec{O E} + \vec{OF} = \vec{O M}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3 (\vec{u} + \vec{v}) = 3 \vec{O M} = \vec{O C}$

Xét hình bình hành OACB, ta có:

$3 \vec{u} + 3 \vec{v} = \vec{O A} + \vec{OB} = \vec{O C}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3 (\vec{u} + \vec{v}) = 3 \vec{u} + 3 \vec{v} (= \vec{O C})$

Vậy $3 (\vec{u} + \vec{v}) = 3 \vec{u} + 3 \vec{v} .$

Luyện tập 2 trang 57 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$

Lời giải:

Quảng cáo

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Do đó:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} .$

Luyện tập 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ theo hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ , tức là tìm các số x, y, z, t để $\vec{u} = x \vec{a} + y \vec{b}, \vec{v} = t \vec{a} + z \vec{b} .$