Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 57.

Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|.$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

d) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ bằng nhau.

Lời giải:

a) Ta có: 

$\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|k\right|\left|t\overrightarrow{u}\right|=\left|k\right|\left|t\right|\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

và $\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Suy ra $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|.$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt ≥ 0. (1)

Nếu t > 0 thì k ≥ 0 (do kt ≥ 0) và $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$. Từ đó suy ra $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với $t\overrightarrow{u}$, nên cũng cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.  (2)

Nếu t < 0 thì k ≤ 0 (do kt ≥ 0) và $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$. Từ đó suy ra $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với $t\overrightarrow{u}$, nên cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.  (3)

Nếu t = 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ đều bằng vectơ $\overrightarrow{0}$, do đó cả hai vectơ đều cùng hướng với $\overrightarrow{u}$. (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ khi kt < 0. (5)

Nếu t > 0 thì k < 0 (do kt < 0) và $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$. Từ đó suy ra $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với $t\overrightarrow{u}$, nên $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.  (6)

Nếu t < 0 thì k > 0 (do kt < 0) và $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$. Từ đó suy ra $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với $t\overrightarrow{u}$, nên $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.  (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài (theo ý a)

Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng .

Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k\left(t\overrightarrow{u}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{u}$

Vậy khẳng định d) đúng.

HĐ4 trang 57 Toán 10 Tập 1: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$ và $3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$ và $3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

Xét hình bình hành OEMF, ta có:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{\text{OF}}=\overrightarrow{OM}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}$

Xét hình bình hành OACB, ta có:

$3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\left(=\overrightarrow{OC}\right)$

Vậy $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}.$

Luyện tập 2 trang 57 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó:

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$

Luyện tập 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, tức là tìm các số x, y, z, t để $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{a}+z\overrightarrow{b}.$

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Xét hình bình hành OABC, có:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{b},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{u}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{b},\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{a}$

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{v}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a} \\ =-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}. \end{gathered}$$

Vậy  $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số hay khác:

• Giải Toán 10 trang 55
• Giải Toán 10 trang 56
• Giải Toán 10 trang 58
• Giải Toán 10 trang 59

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

• Bài tập cuối chương IV

• Bài 12: Số gần đúng và sai số

• Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---