Giải Toán 10 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 58 Tập 1 trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 58.

Giải Toán 10 trang 58 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.11 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}.$

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M. Khi đó ABEC là hình bình hành

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$

Ta lại có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2} \\ =\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}. \end{gathered}$$

Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$

Bài 4.12 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Lời giải:

Từ (1) và (2) suy ra: 

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Bài 4.13 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Lời giải:

a) Cách 1: Giả sử có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KB}$ cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

Khi đó: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

$\iff \overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{KI}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left(\overrightarrow{KI}+2\overrightarrow{KI}\right)+\overrightarrow{IB}+\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{BI}$

$\iff \overrightarrow{KI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BI}$

Suy ra vectơ $\overrightarrow{KI}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BI}$ và thỏa mãn $KI=\frac{1}{3}BI.$

Điểm K là điểm nằm giữa I và B và thỏa mãn $KI=\frac{1}{3}BI.$

b) Lấy điểm O bất kì ta có:

Cách 1:

Ta có:

(Do $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$)

Cách 2:

Bài 4.14 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}.$

Lời giải:

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, có:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Xét $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{MG}+2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{MG}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CG}$

Suy ra điểm M nằm giữa C và G sao cho $MG=\frac{1}{4}CG$ hay CM = $\frac{3}{4}$CG.

Gọi I là trung điểm của AB, vì G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = $\frac{2}{3}$CI.

Do đó, CM = $\frac{3}{4}$. $\frac{2}{3}$CI = $\frac{1}{2}$CI.

Vậy M là trung điểm của CI.

b) Ta có: 

$VT=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}$

$=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{MC}$

$=4\overrightarrow{OM}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)$

$=4\overrightarrow{OM}=VP.$

(DO $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$)

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số hay khác:

• Giải Toán 10 trang 55
• Giải Toán 10 trang 56
• Giải Toán 10 trang 57
• Giải Toán 10 trang 59

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

• Bài tập cuối chương IV

• Bài 12: Số gần đúng và sai số

• Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức

---