Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTT

Lý thuyết Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (c.c.c).

Ví dụ 1. Cho hai tam giác ABC và EDF như hình vẽ. Tam giác ABC, EDF có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{6}{2}=3;\frac{\text{AC}}{\text{EF}}=\frac{9}{3}=3;$$\frac{\text{BC}}{\text{DF}}=\frac{12}{4}=3.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{\text{AC}}{\text{EF}}=\frac{\text{BC}}{\text{DF}}.$

Xét hai tam giác ABC và EDF có: $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{\text{AC}}{\text{EF}}=\frac{\text{BC}}{\text{DF}}.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔEDF (c.c.c).

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (c.g.c).

Nhận xét: Nếu ΔA'B'C' ᔕ ΔABC theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC và ΔA'B'C' thì $\frac{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{AM}=k.$

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 12 cm, $\widehat{\text{BAC}}=60°$ và tam giác MNP có MN = 2 cm, MP = 4 cm, $\widehat{\text{NMP}}=60°$. Chứng minh ΔABC ᔕ ΔMNP.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{MN}}=\frac{6}{2}=3;\frac{\text{AC}}{\text{MP}}=\frac{12}{4}=3.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{MN}}=\frac{\text{AC}}{\text{MP}}.$

Xét hai tam giác ABC và MNP có:

$\frac{\text{AB}}{\text{MN}}=\frac{\text{AC}}{\text{MP}}$

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{NMP}}=60°$

Do đó ΔABC ᔕ ΔMNP (c.g.c).

3. Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (g.g).

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AD tại E. Chứng minh ΔABD ᔕ ΔECD.

Hướng dẫn giải

Vì CE // AB nên $\widehat{\text{CED}}=\widehat{\text{BAD}}$ (so le trong).

Xét hai tam giác ABD và ECD có:

$\widehat{\text{CED}}=\widehat{\text{BAD}}$

$\widehat{\text{ADB}}=\widehat{\text{EDC}}$ (đối đỉnh)

Do đó ΔABD ᔕ ΔECD (g.g).

Nhận xét: Nếu ΔABC ᔕ ΔA'B'C' theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường phân giác của ΔABC và ΔA'B'C' thì $\frac{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{AM}=k.$

Bài tập Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Tam giác A'B'C' có A'B' = 6 cm, B'C' = 14 cm, A'C' = 10 cm. Chứng minh ΔBAC ᔕ ΔB'A'C'.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{A'B'}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{BC}}{\text{B'C'}}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{A'B'}}=\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{\text{BC}}{\text{B'C'}}.$

Xét ΔBAC và ΔB'A'C' có: $\frac{\text{BA}}{\text{B'A'}}=\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{\text{BC}}{\text{B'C'}}.$

Suy ra ΔBAC ᔕ ΔB'A'C' (c.c.c).

Bài 2. Tứ giác ABCD có AB = 3 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, AD = 5 cm và BD = 6 cm. Tứ giác ABCD là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{BD}}{\text{DC}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}.$

Xét hai tam giác ABD và BDC có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}.$

Do đó ΔABD ᔕ ΔBDC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{BDC}}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // DC.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 3. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF. Biết BC = 24,3 cm, CA = 32,4 cm, AB = 16,2 cm và AB – DE = 10 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF.

Hướng dẫn giải

Vì ΔABC ᔕ ΔDEF nên $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AC}}{\text{DF}}.$

Mà AB – DE = 10 cm nên DE = AB – 10 = 16,2 – 10 = 6,2 (cm).

Suy ra $\frac{\text{16,2}}{\text{6,2}}=\frac{\text{24,3}}{\text{EF}}=\frac{\text{32,4}}{\text{DF}}=\frac{81}{31}.$

Suy ra $\text{EF}=\frac{24,3\cdot 31}{81}=9,3\left(\text{cm}\right),$ $\text{DF}=\frac{32,4\cdot 31}{81}=12,4\left(\text{cm}\right).$

Vậy DE = 6,2 cm, EF = 9,3 cm, DF = 12,4 cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh ΔABC ᔕ ΔMNP.

Hướng dẫn giải

• Xét tam giác OAB có: M là trung điểm OA, N là trung điểm OB.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác OAB.

Suy ra $\text{MN}=\frac{1}{2}\text{AB}$ hay $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{1}{2}$. (1)

• Xét tam giác OAC có: M là trung điểm OA, P là trung điểm OC.

Suy ra MP là đường trung bình của tam giác OAC.

Suy ra $\text{MP}=\frac{1}{2}\text{AC}$ hay $\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{1}{2}$. (2)

• Xét tam giác OBC có: N là trung điểm OB, P là trung điểm OC.

Suy ra NP là đường trung bình của tam giác OBC.

Suy ra $\text{NP}=\frac{1}{2}\text{BC}$ hay $\frac{\text{NP}}{\text{BC}}=\frac{1}{2}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{\text{NP}}{\text{BC}}.$

Xét hai tam giác ABC và MNP có $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{\text{NP}}{\text{BC}}.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔMNP (c.c.c).

Học tốt Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Các bài học để học tốt Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTT

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 33: Hai tam giác đồng dạng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

• Lý thuyết Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 9

• Lý thuyết Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---