Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

Bài viết Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian.

Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian

A. Phương pháp giải

Để chứng ming hai đường thẳng song song trong không gian có thể sử dụng 1 trong các cách sau:

1. Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)

2. Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.

3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

4. Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn mệnh đề đúng.

A. IJ // CD

B. IJ // AB

C. IJ và CD chéo nhau

D. IJ cắt AB

Lời giải

   + Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD    (1)

   + Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD

⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3

⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Hai đường thẳng nào sau đây song song với nhau.

A. MP và RT

B. MQ và RT

C. MN và RT

D. PQ và RT

Lời giải

   + Ta có: M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD   (1)

   + Ta có: R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD

⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD   (2)

   + Từ (1) và ( 2) suy ra: MQ // RT

Chọn B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng không song song với IJ trong các đường thẳng sau:

A. EF          B. DC           C. AD          D. AB

Lời giải

   + Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác)    (1)

   + Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD    (2)

   + Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD    (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Chọn C

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M; N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. Hai điểm P và Q cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ

A. MP // NQ

B. MP ≡ NQ

C. MP cắt NQ

D. MP và NQ chéo nhau

Lời giải

   + Xét mặt phẳng (ABP):

Ta có: M và N thuộc AB nên M; N thuộc mặt phẳng (ABP)

   + Mặt khác: CD ∩ (ABP) = P Và : Q ∈ CD

⇒ Q không thuộc mp (ABP)

⇒ 4 điểm M; N; P và Q không đồng phẳng. (chú ý 3 điểm A; M; N cùng thuộc mp (ABP)

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB. Tìm mệnh đề sai?

A. AB // IJ

B. CD // IJ

C. IJCD là hình thang

D. IJ và CD chéo nhau

Lời giải

   + Vì I; J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB

⇒ IJ // AB    (1)

   + Lại có: AB // CD    (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

⇒ Tứ giác IJCD là hình thang.

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB; AC sao cho : AM/AB = AN/AC; Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BD; CD. Tìm mệnh đề sai?

A. MN // BC

B. IJ // BC

C. Điều kiện để tứ giác MNJI là hình bình hành là M; N là trung điểm của AB; AC

D. MN và IJ chéo nhau

Lời giải

   + Ta có: AM/AB = AN/AC, từ đó suy ra: MN // BC    (Định lý Ta-lét đảo)

   + Vì I và J lần lượt là trung điểm của BD và CD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD

⇒ IJ // BC     (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra MN // IJ. Vậy tứ giác MNJI là hình thang

   + Để MNJI là hình bình hành thì IJ = MN

Lại có: IJ = (1/2)BC ( tính chất đường trung bình)

⇒ Để MNJI là hình bình hành thì MN = (1/2)BC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác

⇒ M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC

Chọn D

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là tâm của hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB. Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt SC tại N. Tìm mệnh đề sai.

A. MN // BC        B. MN // AD         C. NO // SA       D.NO // SD

Lời giải

   + Xét mp(SBC) có:

⇒ N là trung điểm của SC (định lí)

   + Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của SB; SC nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN // BC // AD nên A và B đúng

   + Xét mp( SAC) có N và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên NO là đường trung bình của tam giác SAC.

⇒ NO // SA nên C đúng

⇒ D sai

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là điểm thuộc SB sao cho SN = (1/4)SB; gọi M là điểm trên cạnh SD sao cho SM = (1/3)MD. Tìm đường thẳng song song với BD?

A. MA        B. MN         C. NC        D. NS

Lời giải

Trong mp (SBD), ta có: SN = (1/4)SB nên SN/SB = 1/4

   + Do SM = (1/3)MD nên SM = (1/4)SD

⇒ SM/SD = SN/SB = 1/4

⇒ MN // BD (định lí ta-let đảo).

Chọn B

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Gọi A’; B’; C’; D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA; SB; SC và SD. Trong các đường thẳng sau đây, đường thẳng nào không song song với A’B’ ?

A. AB       B. CD       C. C’D’       D. SC

Lời giải:

Chọn D

   + Do A’ và B’ là trung điểm của SA; SB

⇒ A’B’ là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒ A’B’// AB     (1) .

   + Tương tự; C’D’ // CD    (2)

   + Lại có: ABCD là hình bình hành nên AB // CD    (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: A’B’ // AB // CD // C’D’

⇒ D sai

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (ADN) , I là giao điểm của AN và DP. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SI song song với CD

B. SI chéo với CD

C. SI cắt vớ CD

D. SI trùng với CD

Lời giải:

Chọn A

   + Trong (ABCD) gọi E = AD ∩ BC, trong (SCD) gọi P = SC ∩ EN

Ta có E ∈ AD ⊂ (ADN) ⇒ EN ⊂ (AND) ⇒ P ∈ (AND)

Vậy P = SC ∩ (ADN)

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA; SD tại P; Q. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. MN song song với PQ

B. MN chéo vớI PQ

C. MN cắt vớI PQ

D. MN trùng với PQ

Lời giải:

Chọn A

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC. Biết AD = a và BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB; SC lần lượt tại M; N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA; SD tại P; Q. Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Tính EF theo A; B.

Lời giải:

Chọn D

Trước tiên ta chứng minh EF song song với MN Và PQ

Câu 5: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.

A. AB = BC        B. BC = AD        C. AC = BD        D. AB = CD

Lời giải:

Chọn D

   + Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB

⇒ MN // AB

   + Tương tự; PQ // AB; MQ // CD và NP // CD

Suy ra: MN song song với PQ vì cùng song song với AB

MQ song song với PN vì cùng song song với CD

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

   + Tứ giác MNPQ là hình thoi khi : MQ = PQ ⇔ AB = CD

Câu 6: Cho hình chóp A.BCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABC. Tìm mệnh đề đúng?

A. MN và G₁G₂ chéo nhau

B. G₁G₂ // MN

C. MN cắt G₁G₂

D. G₂M và G₁N chéo nhau

Lời giải:

   + Xét tam giác AMN ta có:

(tính chất trọng tâm tam giác)

⇒ MN // G₁G₂

Do đó; 2 đường thẳng MN và G₁G₂ đồng phẳng và 2 đường thẳng G₂M, G₁N sẽ cắt nhau.

Chọn B

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M là giao điểm của AC và BD. Gọi G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm tam giác SOD và SOB. Tìm đường thẳng song song với G₁G₂?

A. SH         B.Sk         C. HK         D. KC

Lời giải:

   + Gọi H là trung điểm của OD và K là trung điểm của OB.

   + Do G₁ là trọng tâm tam giác SOD nên: (SG₁)/SH = 2/3

   + DO G₂ là trọng tâm tam giác SOB nên: (SG₂)/SK = 2/3

   + Trong mp(SG₁G₂) ta có: (SG₁)/SH = (SG₂)/SK = 2/3

⇒ G₁G₂ // HK (định lí Ta- let)

Chọn C

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có M; N lần lượt thuộc AB; DB sao cho MN // AD. Gọi I là trung điểm BC. Gọi HK là giao tuyến của mp(CNM) và mp(AID). Tìm mệnh đề đúng?

A. HK // AD

B. HK // MI

C. K là trọng tâm tam giác ABC

D. Tất cả sai

Lời giải:

   + Xét hai mp(CNM) và mp(AID) có:

⇒ HK // AD // MN (hệ quả)

   + Do M là điểm bất kì trên cạnh AB nên chưa chắc K là trọng tâm tam giác ABC

⇒ A đúng

Chọn A

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F, lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?

A. EF.                  B. DC.                  C. AD.                  D. AB.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với  đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB  và CD (AB > CD).  Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB.

a. Chứng minh: MN ∕ ∕ CD.

b. Tìm P = SC ∩ (ADN).

c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.  Chứng minh: SI  ∕ ∕ AB  ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì?

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có  đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. Chứng minh PQ // SA.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên đoạn thẳng AC, BF sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BF}=\frac{1}{3}$. Chứng minh rằng MN // DE.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết về hai đường thẳng song song trong không gian
• Cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian
• Cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng, 3 đường thẳng đồng quy
• Cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song
• Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng khác

---