Chuyên đề Đạo hàm lớp 11 (Kết nối tri thức)

Tài liệu chuyên đề Đạo hàm Toán lớp 11 sách Kết nối tri thức gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Chuyên đề Đạo hàm lớp 11 (Kết nối tri thức)

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 0711000255837 - NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

I. LÝ THUYẾT

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $x_0\in \left(a;b\right)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của $f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ , kí hiệu là $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ hay $y^{\text{'}}\left(x_0\right)$, tức là

Để tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0\in \left(a;b\right)$, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính $f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ với $x\in \left(a;b\right),x\ne x_0$

Bước 3. Tính giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Chú ý: Trong định nghĩa và quy tắc trên đây, thay $x_0$ bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x\in \left(a;b\right)$.

3.ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘTKHOẢNG

Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là có đạo hàm trên $(a;b)$ nếu nó có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)$ tại mọi điểm thuộc $(a;b)$. Kí hiệu là: $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $P\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là đường thẳng đi qua P với hệ số góc $k=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn, nghĩa là $k=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$. Điểm P gọi là tiếp điểm.

b) Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P\left(x_0;y_0\right)$ là: trong đó $y_0=f\left(x_0\right)$.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP

DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. PHƯƠNG PHÁP

Để tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0\in \left(a;b\right)$, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính $f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ với $x\in \left(a;b\right),x\ne x_0$

Bước 3. Tính giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

$f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

$f\text{'}\left(x_0^{+}\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

$f\text{'}\left(x_0^{-}\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm $x=x_0\iff f\text{'}\left(x_0^{+}\right)=f\text{'}\left(x_0^{-}\right)$

Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:

$y=f\left(x\right)=2x^3+x-1$ tại $x_0=0$

Câu 2: Tính đạo hàm tại 1 điểm

a. $y=f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+x+1}$ tại $x_0=-2$

b. $y=f\left(x\right)=\frac{x^2+x-3}{2x-1}$ tại $x_0=3$

Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:

1. $f\left(x\right)=2x^3+1$ tại $x=2$

2. $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}$ tại $x=1$

3. $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x^3+x^2+1}-1}{x}\text{ khi }x\ne 0\\ 0\text{ khi }x=0\end{array}\right.$ tại $x=0$

Câu 4: Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1}\text{ khi }x\ne 1\\ a\text{ khi }x=1\end{array}\right.$ có đạo hàm tại $x=1$

DẠNG 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN 1 KHOẢNG

1. PHƯƠNG PHÁP

Để tính đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại $x_0\in \left(a;b\right)$ bất kì, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tính $f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$.

Bước 2. Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ với $x\in \left(a;b\right),x\ne x_0$

Bước 3. Tính giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:

a. $y=f\left(x\right)=x^2-3x+1$

b. $y=f\left(x\right)=x^3-2x$

c. $y=f\left(x\right)=4x+3$

DẠNG 3. Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

1. PHƯƠNG PHÁP

a. Ý nghĩa hình học

Đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left(x_0;y_o\right)$ là $k=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$.

Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm $M_0$ có dạng:

$y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$

b. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Phương trình quỹ đạo chuyển động của chất điểm: $s=f\left(t\right)$.

Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường $v=s^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(t\right)$.

2. BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 6: Cho hàm số $y=x^2+2x-4$ có đồ thị $\left(C\right)$

a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của $\left(C\right)$ tại điểm có hoành độ $x_0=1$ thuộc $\left(C\right)$.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=0$ thuộc $\left(C\right)$.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ $y_0=-1$ thuộc $\left(C\right)$.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -4 .

e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đưởng thẳng $y=1-3x$.

Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{3x}$ có đồ thị $\left(C\right)$

a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của $\left(C\right)$ với trục Oy .

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của $\left(C\right)$ với trục Ox.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của $\left(C\right)$ với đường thẳng $y=x+1$.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $k=-\frac{1}{3}$.

e. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đưởng thẳng $y=3x-4$.

Câu 8: Cho hàm số $y=x^3-2x+1$

a. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số trên tại điểm có x = 0 .

b. Viết phương trình tiếp tuyến của hầm số biết nó có k = -2.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số trên, biết nó tạo với hai trục Oxy một tam giác vuông cân tại O.

Câu 9: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình $s=2t^2+t-1\left(m\right)$

a. Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s.

b. Tìm vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t = 0 tới t = 2s .

III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$có đạo hàm tại điểm $x_0$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

B. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)+f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

C. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x+x_0}$

D. $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\text{lim}}\frac{f\left(x\right)+f\left(x_0\right)}{x+x_0}$

Câu 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $ℝ$ thỏa mãn $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}=2$. Kết quả đúng là

A. $f^{\text{'}}\left(2\right)=3$

B. $f^{\text{'}}\left(x\right)=2$

C. $f^{\text{'}}\left(x\right)=3$

D. $f^{\text{'}}\left(3\right)=2$

Câu 3: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm thỏa mãn $f^{\text{'}}\left(6\right)=2.$ Giá trị của biểu thức $\underset{x\to 6}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(6\right)}{x-6}$ bằng

A. 12

B. 2

C. $\frac{1}{3}.$

D. $\frac{1}{2}.$

Câu 4: Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định bởi $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{4x^2+1}-1}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\ne 0\\ 0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x=0\end{array}\right.$. Giá trị $f^{\text{'}}\left(0\right)$bằng

A. 2

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. Không tồn tại

Câu 5: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{3x}{1+\left|x\right|}$. Tính $f^{\text{'}}\left(0\right)$.

A. $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$

B. $f^{\text{'}}\left(0\right)=1$

C. $f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{3}$

D. $f^{\text{'}}\left(0\right)=3$

Câu 6: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{x-1}\text{\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x\ne 1\\ \frac{-5}{4}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x=1\end{array}\right.$. Tính $f\text{'}\left(1\right)$.

A. Không tồn tại

B. 0

C. $-\frac{7}{50}$

D. $-\frac{9}{64}$

Câu 7: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x\ge 1\\ 2x,x<1.\end{array}\right.$ Mệnh đề sai là

A. $f^{\text{'}}\left(1\right)=2$

B. $f$ không có đạo hàm tại $x_0=1.$

C. $f^{\text{'}}\left(0\right)=2.$

D. $f^{\text{'}}\left(2\right)=4.$

Câu 8: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}a{x}^2+bx\text{ khi }x\ge 1\\ 2x-1\text{ khi }x<1\end{array}\right.$. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x=1 thì 2a+b bằng:

A. 2

B. 5

C. -2

D. -5

Câu 9: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}a{x}^2+bx+1,x\ge 0\\ ax-b-1,x<0\end{array}\right.$. Khi hàm số $f\left(x\right)$có đạo hàm tại $x_0=0$. Hãy tính T = a+2b.

A. T = -4

B. T = 0

C. T = -6

D. T = 4

Câu 10: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-\sqrt{4-x}}{4}\text{ khi }x\ne 0\\ \frac{1}{4}\text{ khi }x=0\end{array}\right.$. Khi đó $f^{\text{'}}\left(0\right)$ là kết quả nào sau đây?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{16}$

C. $\frac{1}{32}$

D. Không rông tại

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số $y=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\mathrm{...}\left(x-2021\right)$ tại điểm x = 0.

A. $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$

B. $f^{\text{'}}\left(0\right)=2021!$

C. $f^{\text{'}}\left(0\right)=2021$

D. $f^{\text{'}}\left(0\right)=-2021!$

Câu 12: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm tại điểm $x_0=2$. Tìm $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f\left(x\right)-xf\left(2\right)}{x-2}$.

A. 0

B. $f^{\text{'}}\left(2\right)$

C. $2f^{\text{'}}\left(2\right)-f\left(2\right)$

D. $f\left(2\right)-2f^{\text{'}}\left(2\right)$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:

• Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

• Chuyên đề Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

• Chuyên đề Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

• Chuyên đề Quan hệ song song trong không gian

• Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục

• Chuyên đề Hàm số mũ và hàm số lôgarit

• Chuyên đề Quan hệ vuông góc trong không gian

• Chuyên đề Các quy tắc tính xác suất

---