Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)).

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M₀ (x₀; f(x₀)) là:

y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀).

Chú ý

Hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b:

+ Song song với nhau khi a = a', b ≠ b;

+ Vuông góc với nhau khi a ∙ a' = – 1.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 3x² – 2 có đồ thị (C). Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:

$\text{f'}\left(\text{1}\right)=\underset{\text{x}\to \text{1}}{\text{lim}}\frac{\text{f}\left(\text{x}\right)-\text{f}\left(\text{1}\right)}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\to 1}{\lim }\frac{3{\text{x}}^2-2-1}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\to 1}{\lim }3(\text{x}+1)=6$.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x² + 1 có đồ thị hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(3; 10).

Hướng dẫn giải:

Nhận thấy điểm A(3; 10) thuộc đồ thị hàm số (C).

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(3; 10) có hệ số góc là:

$\text{f'}\left(3\right)=\underset{\text{x}\to 3}{\text{lim}}\frac{\text{f}\left(\text{x}\right)-\text{f}\left(3\right)}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\to 3}{\lim }\frac{{\text{x}}^2+1-10}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\to 3}{\lim }\text{(x}+3)=6$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(3; 10) là:

y = 6(x – 3) + 10 hay y = 6x – 8.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số $\text{y}=\frac{{\text{x}}^{\text{2}}+2\text{x}-3}{\text{x}-2}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (3; 12) là:

A. y = 8x + 24;

B. y = 8x – 12;

C. y = 4x – 12;

D. y = – 4x + 24.

Bài 2. Cho hàm số $\text{y}=\frac{\text{4x}-5}{7+\text{x}}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $\text{A}\left(-1;\frac{-3}{2}\right)$ là:

A. $\text{y}=\frac{11}{12}\text{x + }\frac{29}{12}$ ;

B.$\text{y}=\frac{11}{12}\text{x}-\frac{7}{12}$ ;

C. $\text{y}=-\frac{11}{12}\text{x}-\frac{7}{12}$ ;

D.$\text{y}=-\frac{11}{12}\text{x + }\frac{7}{12}$ .

Bài 3. Cho hàm số $\text{y}={\text{x}}^2-\frac{1}{3}\text{x}$  có đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm H có hoành độ bằng 6 là $\frac{35}{3}$ . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm H là:

A. $\text{y}=\frac{35}{3}\text{x + }34$ ;

B. $\text{y}=\frac{35}{3}\text{x}-104$ ;

C. $\text{y}=\frac{35}{3}\text{x}-36$ ;

D. $\text{y}=\frac{35}{3}\text{x + }38$ .

Bài 4. Phương trình tiếp tuyến của hàm số $\text{y}=\frac{1-\text{x}}{\text{x}-3}$  (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành là:

A. $\text{y}=\frac{1}{2}\text{x + }\frac{1}{2}$ ;

B. $\text{y}=-\frac{1}{2}\text{x + }\frac{1}{2}$ ;

C. $\text{y}=\frac{1}{2}\text{x}-\frac{1}{2}$ ;

D. $\text{y}=-\frac{1}{2}\text{x}-\frac{1}{2}$ .

Bài 5. Cho hàm số y = x² + 5x – 6 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung là:

A. y = 5x – 6;

B. y = – 6;

C. y = – 6x – 6;

D. y = 5x + 6.

Bài 6. Cho hàm số y = – x² có đồ thị (C). Biết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3x – 1, phương trình tiếp tuyến của (C) là:

A. $\text{y}=-3\text{x}-\frac{89}{18}$ ;

B. $\text{y}=3\text{x + }\frac{98}{18}$ ;

C. $\text{y}=3\text{x}-\frac{9}{18}$ ;

D. $\text{y}=3\text{x}+\frac{9}{4}$ .

Bài 7. Cho hàm số y = x³ – 3x² có đồ thị (C). Biết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng $\text{y}=\frac{1}{2}\text{x}+13$ , phương trình tiếp tuyến của (C) là:

A. $\text{y}=-2\text{x}-\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ;

B. $\text{y}=-2\text{x + }\frac{2\sqrt{3}}{9}$ ;

C. Cả A, B đều sai;

D. Cả A, B đều đúng.

Bài 8. Cho hàm số $\text{y}=\sqrt{{\text{x}}^2-\text{x}+1}$ , có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 1) là $\text{y}=\frac{1}{2}\text{x}-\frac{1}{2}$ ;

B. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 1) là $\text{y}=\frac{1}{2}\text{x + }\frac{1}{2}$ ;

C. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 1) là $\text{y}=-\frac{1}{2}\text{x + }\frac{1}{2}$ ;

D. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 1) là $\text{y}=-\frac{1}{2}\text{x}-\frac{1}{2}$ .

Bài 9. Cho hàm số $\text{y}=\frac{1}{{\text{x}}^2+5\text{x}+9}$  có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đồ thị (C) đi qua điểm A(–1;$\frac{1}{5}$ );

B. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(–1;$\frac{1}{5}$ ) có hệ số góc là $\frac{-3}{25}$ ;

C. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(–1;$\frac{1}{5}$ ) là $\text{y}=\frac{-3}{25}\text{x}+\frac{2}{25}$ ;

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 10. Cho hàm số $\text{y}=\sqrt{2\text{x}+1}$  có đồ thị (C). Biết hệ số góc bằng $\frac{1}{3}$ , khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) là:

A. $\text{y}=\frac{5}{3}\text{x}+\frac{1}{3}$ ;

B. $\text{y}=\frac{1}{3}\text{x}-\frac{5}{3}$ ;

C.$\text{y}=-\frac{5}{3}\text{x}-\frac{1}{3}$ ;

D. $\text{y}=\frac{1}{3}\text{x}+\frac{5}{3}$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải các bài toán thực tiễn

• Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp

• Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để giải các bài toán thực tiễn

• Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản

---