Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản.

Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x) tại mọi điểm x ∈ (a; b). Nếu hàm số y' = f'(x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu y'' hoặc f''(x).

Như vậy, để tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x), ta thực hiện như sau:

Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) là y' = f'(x).

Bước 2. Tính đạo hàm của hàm số y' = f'(x) (nếu có). Khi đó, y'' = f''(x) = [f'(x)]'.

Chú ý: Ta cần nắm vững bảng đạo hàm sau

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 6x⁴ – 9x³ + 24x + 7.

Hướng dẫn giải:

Ta có y'(x) = (6x⁴ – 9x³ + 24x + 7)' = 24x³ – 27x² + 24.

Khi đó, y''(x) = (24x³ – 27x² + 24)'  = 72x² – 54x.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = $\frac{1}{\text{x}-9}$  tại điểm x₀ = 8.

Hướng dẫn giải:

Với mọi x ≠ 9, ta có:  y'(x) = ${\left(\frac{1}{\text{x}-9}\right)}^{\text{'}}=-\frac{(\text{x}-9{)}^{\text{'}}}{{\text{(x}-9)}^2}=-\frac{1}{{\text{(x}-9)}^2}$ .

Khi đó, y''(x) =  

Vậy y''(8) = $\frac{2}{{(8-9)}^3}=-2$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hàm số y = (3x – 5)⁴ có đạo hàm cấp hai là

A. 36(3x – 5)²;

B. 108(3x – 5)²;

C. 36(3x – 5)³;

D. 108(3x – 5)³.

Bài 2. Hàm số y = $\sqrt{\text{x}+1}$  có đạo hàm cấp hai tại điểm x₀ = 0 bằng

A. $\frac{1}{4}$ ;

B.$\frac{-1}{8}$ ;

C. $\frac{-1}{4}$ ;

D. $\frac{1}{8}$ .

Bài 3. Với mọi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$, đạo hàm cấp hai của hàm số y = tanx là:

A. $\frac{2\sin \text{x}}{{\cos }^3\text{x}}$ ;

B. $-\frac{2\sin \text{x}}{{\cos }^3\text{x}}$ ;

C. $\frac{1}{{\cos }^2\text{x}}$ ;

D. $-\frac{1}{{\cos }^2\text{x}}$ .

Bài 4. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = $\text{x}\sqrt{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+1}}$là:

A.$\frac{{\text{2x}}^2-1}{\sqrt{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+1}}}$ ;

B. $\frac{{\text{2x}}^2+1}{\sqrt{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+1}}}$ ;

C.$-\frac{2x^3+3\text{x}}{({\text{x}}^{\text{2}}\text{+1)}\sqrt{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+1}}}$ ;

D.$\frac{2x^3+3\text{x}}{({\text{x}}^{\text{2}}\text{+1)}\sqrt{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+1}}}$ .

Bài 5. Cho hàm số y = sin3x. Trong các khẳng định sau khẳng định nào là đúng?

A. 2y + y'' = – 7sin3x;

B. $y"\left(\frac{\text{π}}{\text{3}}\right)=1$ ;

C. y'' – y = – 8sin3x;

D. $\frac{1}{3}y"=3\sin 3\text{x}$ .

Bài 6. Cho hàm số y = (x – 2)⁵. Giá trị y''(0) bằng

A. –40;

B. 40;

C. –160;

D. 160.

Bài 7. Với hàm số y = sin²x + x² thì y''$\left(\frac{\text{π}}{\text{2}}\right)$  bằng

A. –2;

B. 2;

C. 4;

D. 0.

Bài 8. Cho hàm số y = (3x – 2)³ + 7x + 8. Tập nghiệm của phương trình y''(x) = 0 là

A. ∅;

B. ;

C. {0};

D. {1}.

Bài 9. Cho hàm số $\text{y}=\frac{1}{-\text{x}}$ , trong hai mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

(I) $y\text{'}=-\frac{1}{{\text{x}}^2}$ , với mọi x ≠ 0.                         (II) $y"=-\frac{2}{{\text{x}}^3}$ , với mọi x ≠ 0.

A. Chỉ (I) đúng;

B. Chỉ (II) đúng;

C. Cả (I), (II) đều đúng;

D. Cả (I), (II) đều sai.

Bài 10. Cho hàm số y = 8x⁴ – 13x² + 24x – 11. Phương trình y''(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. Vô số nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải các bài toán thực tiễn

• Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải các bài toán thực tiễn

• Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp

• Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để giải các bài toán thực tiễn

---