Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải các bài toán thực tiễn lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải các bài toán thực tiễn lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải các bài toán thực tiễn.

Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải các bài toán thực tiễn lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng các công thức đạo hàm vào giải quyết mội số bài toán tìm vận tốc tức thời, tìm gia tốc tức thời, tìm thời gian của vật dựa vào phương trình chuyển động s(t) đã cho ở đề bài.

Chú ý:

- Vận tốc tức thời v(t) = s'(t).

- Gia tốc tức thời a(t) = v'(t) = s''(t).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một vật chuyển động thẳng không đều xác định bởi phương trình s(t) = 3t² + 5t – 3, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 (s).

Hướng dẫn giải:

Ta có s'(t) = (3t² + 5t – 3)' = 6t + 5, a(t) = s''(t) = (6t + 5)' = 6.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là a(2) = s''(2) = 6 m/s².

Ví dụ 2. Một viên bi rơi tự do có quãng đường rơi tính theo thời gian t là s(t) = $\frac{1}{2}{\text{gt}}^{\text{2}}$, trong đó g là gia tốc tự do, lấy g = 9,8 m/s². Tính vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 (s).

Hướng dẫn giải:

Ta có v(t) = s'(t) = ${\left(\frac{1}{2}{\text{gt}}^{\text{2}}\right)}^{\text{'}}$ = gt = 9,8t; a(t) = s''(t) = 9,8.

Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 3 là v(3) = 9,8 . 3 = 29,4 m/s.

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 3 là a(3) = 9,8 m/s².

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một vật chuyển động thẳng có phương trình s(t) = $\frac{5}{4}{\text{t}}^2-\frac{1}{2}{\text{t}}^4+9{\text{t}}^3$, trong đó s tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 6 (s) là:

A. 101 m/s²;

B. 105 m/s²;

C. 92,5 m/s²;

D. 110,5 m/s².

Bài 2. Phương trình chuyển động của một viên bi được cho bởi s(t) = 2t² + $\sin \left(\frac{\text{π}}{6}\text{t}\right)$ , trong đó s tính bằng centimét, t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc của viên bi (làm tròn đến hàng phần trăm) tại thời điểm t = 2 (s) là:

A. 4,01 cm/s²;

B. 3,76 cm/s²;

C. 4 cm/s²;

D. 3,9 cm/s².

Bài 3. Chuyển động của một vật có phương trình s(t) = $\frac{1}{\text{1}-2\text{t}}$trong đó s tính bằng centimét, t là thời gian tính bằng giây. Tại thời điểm vận tốc bằng 2 cm/s thì gia tốc vật bằng:

A. 1 cm/s²;

B. 80 cm/s²;

C. –8 cm/s²;

D. –1 cm/s².

Bài 4. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = 3t⁴ + 7t³ – 5t² , trong đó s tính bằng centimét, t là thời gian tính bằng giây. Tại thời điểm t₀ vật có gia tốc bằng 68 cm/s². Khi đó giá trị của t₀ là:

A. 0;

B. $\frac{-13}{6}$ ;

C. 1;

D. 2.

Bài 5. Một ca nô chạy với phương trình chuyển động là s(t) = $\frac{1}{3}{\text{t}}^{\text{3}}-2{\text{t}}^{\text{2}}+4\text{t}$, trong đó s tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc của ca nô tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là:

A. 0 m/s²;

B. 1 m/s²;

C. 2 m/s²;

D. 3 m/s².

Bài 6. Cho một vật chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 4t³ – 9t² + 12t, trong đó s tính bằng centimét, t là thời gian tính bằng giây. Vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu là:

A.  $\frac{1}{4}$cm/s;

B. $\frac{12}{4}$  cm/s;

C. $\frac{3}{4}$  cm/s;

D. $\frac{21}{4}$  cm/s.

Bài 7. Xét một chuyển động có phương trình s(t) = Asin(ωt + φ), với A, ω, φ là những hằng số. Gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là:

A. Aωsin(ωt + φ);

B. – Aωsin(ωt + φ);

C. – Aω²sin(ωt + φ);

D. Aω²sin(ωt + φ).

Bài 8. Cho một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 4t³ – 3t² + 2t + 1, trong đó s tính bằng centimét, t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc của vật bằng 8 cm/s là:

A. 12 cm/s²;

B. 18 cm/s²;

C. 24 cm/s²;

D. 16 cm/s².

Bài 9. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình s(t) = $\frac{2}{\cos \left(\text{πt}\right)}$  , trong đó s tính bằng centimét, t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc thức thời của con lắc tại thời điểm t = 1 (s) là:

A. π² cm/s²;

B. 2π² cm/s²;

C. – 2π² cm/s²;

D. π² cm/s².

Bài 10. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) = $\frac{1}{\sin \left(\frac{\text{π}}{3}\text{t}\right)}$, trong đó s tính bằng centimét, t là thời gian tính bằng giây. Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 6 (s) là:

A. $\frac{-{\text{π}}^2}{9}$  cm/s²;

B. $\frac{{\text{π}}^2}{9}$  cm/s²;

C. 0 cm/s²;

D. 1 cm/s²;

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải các bài toán thực tiễn

• Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp

• Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để giải các bài toán thực tiễn

• Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản

---