40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết hay nhất

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Link tải 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= - x3 + 3x2 - 4

* Tập xác định : D= R.

* Chiều biến thiên :

Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y’= 0 ⇔ - 3x (x – 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2.

* Bảng biến thiên :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên các khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết , đồng biến trên khoảng (0; 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = - 4

Giới hạn của hàm số tại vô cực : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

* Đồ thị :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Cho x= 1 ⇒ y =0

x= 3 ⇒ y= -4

* Điểm uốn:

y”= - 6x+ 6 =0 ⇔ x= 1

⇒ y(1) = - 2.

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; -2) làm điểm uốn.

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =- x3 + 3x2

* Tập xác định : D= R.

* Chiều biến thiên:

Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y’= - 3x(x -2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2.

Giới hạn của hàm số tại vô cực: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

* Bảng biến thiên:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên các khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết , đồng biến trên khoảng (0;2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 0 .

* Đồ thị :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Cho x= 1⇒ y(1) = 4

x= 3 ⇒ y=0

* Điểm uốn:

Ta có: y”= - 6x+ 6 = 0

⇔ x= 1 ⇒ y (1) = 4

Vậy đồ thị nhận điểm I (1; 4) làm điểm uốn.

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

* Tập xác định: D = R.

* Chiều biến thiên:

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên R và hàm số không có cực trị .

* Bảng biến thiên:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

* Đồ thị : Cho x= 0 ⇒ y(0)= 0

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

* Điểm uốn:

y”= 2x+ 4 = 0 ⇔ x=- 2

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Vậy điểm uốn của đồ thị là 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bài 4. Cho hàm số y= - x3 + 3x2+ 1 có đồ thị (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(3; 1)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

* Tập xác định: D= R

* Chiều biến thiên :

Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2)

Xét phương trình y’= - 3x(x- 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x= 2.

o Giới hạn của hàm số tại vô cực : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

o Bảng biến thiên:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết , đồng biến trên khoảng (0; 2) .

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2) = 5.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= 1

o Đồ thị :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Cho x = -1 ⇔ y = 5;

x = 3 ⇔ y = 1.

+ Điểm uốn :

y”= -6x+ 6= 0

⇔ x= 1 ⇒ y= 3. Do đó,điểm uốn I(1; 3).

b.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(3; 1)

Ta có; y’(3) = - 9 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = y’(3). (x – 3) + 1 hay y= - 9(x- 3) + 1 ⇔ y = - 9x + 28

Bài 5. Cho hàm số y= x3 + 3x2 – mx – 4, trong đó m là tham số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với m=0.

b. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

a. Khi m= 0 thì hàm số là y= x3 + 3x2 – 4 .

* Tập xác định: D= R.

* Chiều biến thiên:

o Giới hạn của hàm số tại vô cực: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

o Bảng biến thiên:

+ Ta có: y’= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2)

Xét phương trình y’= 0 ⇔ 3x(x+ 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= - 2.

o Bảng biến thiên:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên các khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết , nghịch biến trên khoảng (-2;0).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -2; giá trị cực đại của hàm số là y(-2)=0 .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= - 4

* Đồ thị :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Cho x = -3 ⇒ y= - 4

x= 1 ⇒ y=0

* Điểm uốn

y” = 6x+ 6 =0

⇔x= - 1 ⇒ y(-1)= - 2 nên điểm uốn I(-1; -2)

b. Hàm số y= x3 + 3x2 – mx – 4 đồng biến trên khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bảng biến thiên :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Vậy khi m ≤ -3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn .

Bài 6. Cho hàm số y= 2x3 – 9x2 + 12x -4 có đồ thị (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;

b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

+ Tập xác định D= R.

+ Đạo hàm y’= 6x2 – 18 x+ 12 = 0 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

+ Bảng biến thiên:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x= 1 và yCĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và yCT = 0

+ Đồ thị :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Điểm uốn:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

b. Ta có:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Gọi (C): y= 2x3 – 9x2 + 12x - 4 và 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Ta thấy khi x ≥ 0 thì: (C’): y= 2x3 – 9x2 + 12x - 4

Mặt khác hàm số của đồ thị (C’) là hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy là trục đối xứng . Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau:

o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

o Lấy đối xứng qua trục Oy phần 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

o 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Số nghiệm của phương trình:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng (d): y= m – 4

Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu bài toán

⇔0 < m- 4 < 1 ⇔ 4 < m < 5

Bài 7. Cho hàm số : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

* Hàm số đã cho xác định trên R.

* Xét sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bảng biến thiên

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên các khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết , nghịch biến trên khoảng (-1;3)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -1 ; yCĐ = 0

Hàm số có điểm cực tiểu tại x= 3 ; yCT = - 4.

* Đồ thị

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Suy ra I(1; -2) là điểm uốn của đồ thị .

Giao điểm của đồ thị với trục Oy tại điểm 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Giao điểm của đồ thị với trục Ox tại hai điểm B(-1; 0); C(5; 0).

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U(1; -2) làm tâm đối xứng.

b. Ta có

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Đẳng thức xảy ra khi x= 1 ⇒ y = - 2.

Vậy tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất là:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bài 8. Cho hàm số y= - x3 – x+ 2, có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên (C).

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết (1)

a. Khảo sát và vẽ (C).

+ Hàm số có tập xác định là: D= R.

+ Xét sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bảng biến thiên

Ta có 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết hàm số nghịch biến trên R.

Hàm số không có cực trị .

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Điểm uốn: Ta có: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Vì y” đổi dấu khi x đi qua điểm x= 0 nên U(0;2) là điểm uốn của đồ thị

Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ.

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; 2) .

Phương trình y= 0 ⇔ x= 1

Nên đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1; 0).

Nhận xét: Đồ thị nhận U(0;1) làm tâm đối xứng.

b. Xét đồ thị 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết . Khi đó số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Cách vẽ y= g(x)

B1 : Giữ nguyên đồ thị (C) ứng với phần 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết (Phần đồ thị nằm trên Ox).

B2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị (3) phần f(x) < 0 (Phần nằm phía dưới trục Ox).

Ta có đồ thị (C’)

Dựa vào đồ thị (C’) ta có :

Nếu m < 0 ⇒ Δ và (C’) không cắt nhau thì (1) vô nghiệm

Nếu m = 0 ⇒ Δ cắt (C’) tại một điểm thì (1) có một nghiệm

Nếu m > 0 ⇒ Δ cắt (C’) tại hai điểm thì (1) có hai nghiệm.

Bài 9. Cho hàm số y= x3 – 3x2 + 2 có đồ thị là (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Tìm m để phương trình x3 – 3x2 = m (1) có ba nghiệm phân biệt.

c. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C’): 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

d. Biện luận số nghiệm của phương trình : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

a. Khảo sát và vẽ (C).

* Hàm số có tập xác định là D = R.

* Sự biến thiên của hàm số

Giới hạn của hàm số tại vô cực : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bảng biến thiên

Ta có: y’= 3x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x= 2.

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết , nghịch biến trên khoảng (0;2) .

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0; yCĐ = 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 2; yCT = - 2.

* Đồ thị

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Điểm uốn: Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Ta thấy y” đổi dấu khi x qua điểm x= 1. Vậy U(1; 0) là điểm uốn của đồ thị.

Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 2)

Do đó, đồ thị cắt Ox tại ba điểm (1; 0), 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

* Chọn x= 3 ⇒ y = 2; x= -1 ⇒ y= -2.

Nhận xét: Đồ thị nhận U(1;0) làm tâm đối xứng.

b. Ta có phương trình:

x3 – 3x2 = m ⇔ x3 – 3x2 + 2= m+ 2.

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt đường thẳng y= m+ 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi -2 < m+ 2 < 2 hay – 4 < m < 0.

Vậy – 4 < m < 0 là những giá trị cần tìm.

c. Ta có hàm số 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết là hàm số chẵn nên đồ thị (C’) nhận trục Oy là trục đối xứng để vẽ đồ thị (C’) ta chỉ cần vẽ (C’) nằm phía bên trái hoặc bên phải của trục Oy rồi lấy đối xứng qua Oy ta được phần còn lại.

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Vậy dựa vào đồ thị (C), ta vẽ đồ thị (C’) như sau:

* Giữ nguyên phần bên phải trục Oy của đồ thị (C).

* Lấy đối xứng qua trục Oy phần vừa vẽ ở trên ta có được đồ thị của (C’).

d. Ta có phương trình (2) 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

⇒ số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của hai đồ thị 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết . Dựa vào đồ thị (C’), ta có:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết không cắt đồ thị (C’) nên phương trình (2) vô nghiệm.

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết cắt (C’) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết cắt (C’) tại ba điểm phân biệt nên phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt.

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết cắt (C’) tại bốn điểm phân biệt nên phương trình (2) có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 10. Cho hàm số y= 2x3 – 3x2 + 1 có đồ thị là (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 36 x+ 1

b. Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

a. Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.

Ta có :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

x0= - 2 thì y0= - 27 nên phương trình tiếp tuyến y= 36x+ 45

x0 = 3 thì y0 = 28 nên phương trình tiếp tuyến y = 36x+ 80.

b. Phương trình 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Dựa vào đồ thị (C’) ta có 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết là những giá trị cần tìm.

c. Điều kiện :

Phương trình 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Dựa vào đồ thị (C1) suy ra :

m < 0 thì phương trình vô nghiệm

m = 0 thì phương trình có một nghiệm (loại nghiệm x= 1)

0 < m < 1 thì phương trình có đúng bốn nghiệm

m = 1 thì phương trình có đúng ba nghiệm

m > 1 thì phương trình có đúng hai nghiệm.

Bài 11. Cho hàm số y= x3 – 3mx2 (C), với tham số thực m. Lấy 2 điểm A và B thuộc đồ thị.Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.

a. Chứng minh rằng trung điểm I của AB nằm trên (C).

b. Tìm giá trị của m để phương trình đường thẳng AB là y= -x- 1. Khi đó viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại .

a.Ta có: y’= 3x2 - 6mx.

Lấy A(a; a3 – 3ma2); B(b; b3- 3mb2) (a ≠ b)

Tiếp tuyến tại A và B là song song nên:

3a2 – 6ma = 3b2 – 6mb ⇔ 3(a2 – b2) - 6m(a- b)= 0

⇔3(a-b).[ a+ b – 2m] = 0

⇔ a+ b= 2m (vì a ≠ b)

Do I là trung điểm AB nên:

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Vậy I thuộc (C).

b. Ta có

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bài 12. Cho hàm số y= x3 – 3x2 + 4 có đồ thị là (C)

a.Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.

b. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

a. Ta có y’= 3x2 – 6x.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hoành độ x = 3:

y = y’(3). (x- 3)+ y(3)

Mà y’(3) = 3. 32 – 6.3= 9 và y(3) = 4.

Suy ra phương trình d: y = 9(x – 3) + 4 = 9x – 23 .

b. Hệ số góc của tiếp tuyến của (C):

k= y’(x)= 3x2 – 6x = 3(x- 1)2 – 3 ≥ -3

Do đó, hệ số góc nhỏ nhất là là kmin = - 3.

Dấu “=” xảy ra khi x- 1= 0 hay x= 1.

Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = y’(1). (x- 1) + y(1) hay y= -3(x- 1)+ 2 = - 3x+ 5.

Bài 13. Cho hàm số 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết (m là tham số).

a. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên R.

b. Tìm các giá trị của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) tồn tại một cặp điểm M , N (M khác N) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.

a. Đạo hàm y’= - x2 + 4(m+1) x - 3(m+ 1) .

Hàm số (1) nghịch biến trên R

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

b. Ta có M và N đối xứng qua gốc tọa độ O 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

M và N thuộc đồ thị của hàm số (1) khi và chỉ khi

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Cộng hai phương trình (2) và (3) ,vế với vế ta được : 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết (4)

M , N tồn tại khi và chỉ khi (4) có nghiệm 4(m+1) < 0 hay m < - 1.

Bài 14. Cho hàm số y= - x3 – 3x2 + mx+ 4, trong đó m là tham số .

a. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

b. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

a. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết khi và chỉ khi

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số f(x) = 3x2 + 6x liên tục trên 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Ta có f’(x)= 6x+ 6 > 0 với mọi x > 0 và f(0) = 0. Từ đó ta được : m ≤ 0

b. Giả sử đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm có hoành độ x1; x2; x3 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng,

suy ra x1 + x3 = 2x2 và x1; x2; x3 là nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – mx – 4 =0 (*)

Nên ta có: x3 + 3x2 – mx - 4= (x- x1). (x- x2). (x- x3)

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết thay vào (*) ta có được: - 2+ m=0 ⇔ m= 2.

* Với m= 2 thì (*) trở thành:

x3 + 3x2 – 2x – 4= 0 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng.

Vậy m= 2 là giá trị cần tìm.

Bài 15. Cho hàm số y= 2x3 + (m- 1)x2 + (m+ 2) x+ 1 (1).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 9x – 3.

b. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn hơn 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

a. Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (d): y = 9x – 3 thì hệ số góc của ∆ là k= 9

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

(x0 là hoành độ tiếp điểm của ∆ với (C))

Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y = k(x - x0) + y0

* Khi x0= 1 thì phương trình của ∆ là y = 9(x- 1)+ 6 = 9x – 3 phương trình này bị loại vì khi đó d ≡ ∆

* Khi x0= - 1 thì phương trình d là y = 9(x+ 1) – 4= 9x + 5.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x+ 5

b. Đạo hàm y’= 6x2 + 2(m -1)x + m+ 2

Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu có hoành độ lớn hơn 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Phương trình y’ =0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 lớn hơn 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

* Phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Khi đó hai nghiệm của phương trình y’= 0 là

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Vì x1 < x2 do đó x1; x2 đều lớn hơn 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết khi và chỉ khi

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Bài 16. Cho hàm số y= -x3 + 3x2 + 9x - 1 có đồ thị là (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

b. Tìm m để đường thẳng d : y = (2m- 1)x- 1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A(0 ; -1); B; C sao cho 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

c. Tìm những điểm nằm trên (C) mà qua đó vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C).

a. Ta có y’= - 3x2 + 6x + 9 = -3(x- 1)2 + 12 ≤ 12

Do đó,tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là kmin = 12.

Đẳng thức xảy ra khi x= 1.

Ta có : y(1)= 10 và y’(1) = 12 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm :

y = 12 (x- 1) + 10 hay y= 12x - 2

b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C).

- x3 +3x2 + 9x – 1= (2m- 1)x- 1

⇔x. (x2 – 3x + 2m- 10) = 0

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 0 .

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Khi đó : B(x1 ; (2m- 1)x1 – 1) ; C(x2 ;(2m – 1)x2 – 1)

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M(x0 ; y0) có phương trình :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Để từ A vẽ đến (C) đúng một tiếp tuyến khi và chỉ khi : x0 = 3- 2x0 ⇔ x0 =1

Suy ra, A (1; 10) là điểm cần tìm.

Bài 17. Cho hàm số y = x4 – 2x2 – 1 có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;

b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4 – 2x2 – 1= m (*)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

* Tập xác định: D= R.

* Chiều biến thiên :

Ta có : y’= 4x3 – 4x = 4x (x2 -1)

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Giới hạn của hàm số tại vô cực: 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

o Bảng biến thiên :

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số nghịch biến trên các khoảng 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết và (0; 1), đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0 ; giá trị cực đại của hàm số là y(0) = - 1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết ; giá trị cực tiểu của hàm số là 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

o Đồ thị : Cho 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

b . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: x4 – 2x2 – 1= m

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y= m.

Dựa vào đồ thị, ta thấy :

+ Khi m < -2 thì (*) vô nghiệm.

+ Khi 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết thì (*) có 2 nghiệm.

+ Khi -2 < m < -1 thì (*) có 4 nghiệm.

+ Khi m = -1 thì (*) có 3 nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12