5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Đường tiệm cận ngang

* Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng K. Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Nhận xét: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chỉ cần tìm giới hạn của hàm số tại vô cực.

2. Đường tiệm cận đứng

* Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y= f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

3. Đường tiệm cận xiên

Cho đồ thị hàm số:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đường thẳng (d): y = a1x + b1 được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. x = -2 và y = -3.      B. x = -2 và y = 1.

C. x = -2 và y = 3.      D. x = 2 và y = 1.

* Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2

* Ta có: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = - 3.

Suy ra chọn đáp án A

Quảng cáo

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. x = 1; x = 2 và y = 0      B. x = 1; x = 2 và y = 2.

C. x = 1 và y = 0.      D. x = 1; x = 2 và y = -3.

* Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 .

* Tính tương tự ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2.

* Ta có: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 1, x = 2 và tiệm cận ngang là y = 0

Suy ra chọn đáp án A

Quảng cáo

Ví dụ 3: Đồ thị hàm số sau có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. x = 3 và y = -3.      B. x = 3 và y = 0.

C. x = 3 và y = 1.      D. y = 3 và x = -3.

* Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3.

* Ta có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = -3.

Suy ra chọn đáp án A

Ví dụ 4: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. y = 1 hoặc y = -1.      B. x = 1.

C. y = 1.      D. y = -1.

* Vì tập xác định của hàm số là R nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

* Lại có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là: y = 1 hoặc y = -1.

Suy ra chọn đáp án A

Quảng cáo

Ví dụ 5: Số tiệm cận của hàm số sau:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. 3.     B. 2.

C. 1.     D. 4.

* Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1.

* Mặt khác 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 2 và y = 0

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án A

Ví dụ 6: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. 1      B. 4

B. 2      D. 3

* Điều kiện xác định 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇔ x ∈ (-∞; -3] ∪ [3; +∞]\{5;-5}

* Khi đó có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang x = 0 và x = 2.

* Mặt khác có

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng y = -5; y = 5.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. Đồ thị hàm số f(x) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 3 và không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số f(x) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1.

C. Đồ thị hàm số f(x) có tất cả hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 3; y = -3 và không có tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số f(x) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = -1; x = 1.

* Tập xác định: D = R nên đồ thị không có tiệm cận đứng.

* Ta có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên đường thẳng y = -3 là tiệm cận ngang.

Lại có: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên đường thẳng y = 3 là tiệm cận ngang .

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 8: Đồ thị hàm số sau có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. 1.     B. 2.

C. 4.     D. 3.

Ta có

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên y = 1 là tiệm cận ngang.

Xét phương trình:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng .

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ x = - 2 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận.

I. Phương pháp giải

1. Cho hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết (có chứa tham số m).

+ Điều kiện để hàm số có tiệm cận đứng; tiệm cận ngang là hàm số không bị suy biến

Suy ra:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Khi hàm số không suy biến; hàm số có tiệm cận đứng là: x = -d/c và tiệm cận ngang là y = a/c.

+ Do đó điều kiện để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = x0 làm tiệm cận đứng là: Hàm số không suy biến và cx0 + d = 0 .

+ Điều kiện để đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = y0 làm tiệm cận ngang là: hàm số không bị suy biến và y0 = a/c

2. Hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

+ Để hàm số có tiệm cận đứng; tiệm cận xiên thì hàm số không bị suy biến:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết có đồ thị (C).

Kết luận nào sau đây đúng ?

A. Khi m = 3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng.

B. Khi m = -3 thì (C) không có đường tiệm cận đứng.

C. Khi m ≠ 3 hoặc m ≠ -3 thì (C) có tiệm cận đứng x = -m; tiệm cận ngang y = m .

D. Khi m = 0 thì (C) không có tiệm cận ngang

Xét phương trình: mx + 9 = 0.

* Với x = -m ta có: -m2 + 9 = 0 ⇔ m = 3 hoặc m = -3.

Kiểm tra thấy với m = 3 hoặc m = -3 thì hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

* Khi m ≠ 3 hoặc m ≠ -3 hàm số luôn có tiệm cận đứng x = m hoặc x = - m và tiệm cận ngang y = m.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị (C) sau có tiệm cận đứng đi qua điểm M(-1; √2) ?

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m = √2/2.      B. m = 0

C. m = 1/2.      D. m = 2.

* Đặt f(x) = mx – 1.

Để hàm số không bị suy biến khi và chỉ khi:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ hàm số không bị suy biến với mọi giá trị của m.

* Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = -m/2.

* Vậy để tiệm cận đứng đi qua điểm M(-1; √2) thì

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Đồ thị hàm số sau có đường tiệm cận đứng khi

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m ≠ 0.      B. ∀m ∈ R.

C. m ≠ -1.     D. m ≠ 1.

Xét phương trình: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Nếu phương trình không có nghiệm x = 1 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1.

* Nếu phương trình có nghiệm x = 1 thì:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Khi đó xét giới hạn:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên trong trường hợp này đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

Vậy m ≠ -1 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Xác định m để đồ thị hàm số sau không có tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m = -2      B. m = 2

C. m = 3      D. m = 1

Đồ thị hàm số

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

không có tiệm cận đứng

phương trình f(x) = x2 - (2m + 3)x + 2(m - 1) = 0 có nghiệm x = 2

⇔ f(2) = 0 ⇔ 4 – 2(2m + 3) + 2(m - 1) =0

⇔ -2m - 4 = 0 hay m = -2

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Xác định m để đồ thị hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m < -13/12.      B. -1 < m < 1.

C. m > -3/2.      D. m > -13/12 .

Đồ thị hàm số

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

có đúng hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình: 4x2 + 2(2m + 3)x + m2 - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ (2m + 3)2 - 4(m2 - 1) > 0 ⇔ 12m > -13 ⇔ m > -13/12

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến tiệm cận của hàm số.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x). Để giải được các bài toán liên quan đến tiệm cận ta cần:

• Bước 1. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

• Bước 2. Từ giả thiết thiết lập phương trình

• Chú ý: Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; diện tích tam giác; hình chữ nhật; giao điểm của hai đồ thị hàm số....

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết có đồ thị (C).

Gọi M là một điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của (C). Tính diện tích của tam giác IAB.

A. 2     B. 12

C. 4     D. 6

Tập xác định D = R\{1}.

Đạo hàm 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

(C) có tiệm cận đứng x = 1 (d1) và tiệm cận ngang y = 2 (d2) nên I(1; 2).

Gọi 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Δ cắt d1 tại 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

và cắt d2 tại B(2x0 - 1 ; 2) .

Ta có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

IB = |(2x0 - 1) - 1| = 2|x0 - 1|

Do đó

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến trục hoành

A. M(0;-1); M(3;2).      B. M(2;1); M(4;3).

C. M(0;-1); M(4;3).      D. M(2;1); M(3;2.

Do M thuộc đồ thị hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Phương trình tiệm cận đứng là x - 1 = 0 (d).

Giải phương trình d(M; d) = d(M; Ox)

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là (0; -1) và (4; 3)

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Gọi d là tiếp tuyến bất kì của (C), d cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A, B. Khi đó khoảng cách giữa A và B ngắn nhất bằng

A. 4     B. 3√2

C. 2√2     D. 3√3

Đồ thị hàm số (C) có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = 2.

Tọa độ điểm M bất kì thuộc đồ thị có dạng

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Do đó phương trình tiếp tuyến tại M là:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Tìm tọa độ giao của tiệm cận và tiếp tuyến

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ AB ≥ √8

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Cho hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết với m là tham số thực. Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất. Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất đó bằng 2.

A. m = 0      B. m = 2

C. m = -2; m = 0      D. m = 1

* Áp dụng công thức giải nhanh.

Điểm 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

thuộc đồ thị hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

tiệm cận ngang 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Khi đó

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Áp dụng công thức trên :

Yêu cầu bài toán trở thành:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án C.

Dạng 4: Dựa vào bảng biến thiên tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải

Để dựa vào bảng biến thiên xác định được các tiệm cận của đồ thị hàm số ta cần nắm được các định nghĩa đường tiệm cận:

1. Đường tiệm cận ngang

* Cho hàm số y= f(x) xác định trên một khoảng K. Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

2. Đường tiệm cận đứng

* Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R\{-1}, có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y = -1 và tiệm cận ngang x = -2

B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận

C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2

Từ bảng biến thiên, ta có :

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra y = -2 là tiệm cận ngang.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R\ {-1} có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

B. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y = 2; y = 5 và một tiệm cận đứng x = -1

D. Đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận.

Từ bảng biến thiên, ta có:

+ Vì 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên x = -1 là tiệm cận đứng.

Do 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên y = 5 là tiệm cận ngang

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên y = 2 là tiệm cận ngang.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)?

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 hoặc y = -1.

B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1.

C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1 hoặc y = -1, tiệm cận đứng x = -1.

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 1, tiệm cận đứng x = -1.

+ Ta có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

+ Lại có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra y=- 1 là tiệm cận ngang

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên y = 1 là tiệm cận ngang.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

D. Hàm số không có cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét như sau:

* A đúng vì 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* B sai vì tại x = 0 hàm số không xác định.

* C sai vì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 trên khoảng (0; +∞) mà không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0; +∞).

* D sai vì đạo hàm y’ đổi dấu từ “ + ” sang “ – ” khi đi qua điểm x = 1 nên x = 1 là điểm cực đại của hàm số.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -3.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3.

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 .

D. Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.

Từ bảng biến thiên, ta có:

+ Do 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên y = 0 là tiệm cận ngang.

+ Vì 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên x = -3 là tiệm cận đứng .

+ Lại có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên x = 3 là tiệm cận đứng .

Vậy đồ thị hàm số có tất cả ba đường tiệm cận. Do đó D sai.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hỏi đồ tị hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận.

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Từ bảng biến thiên, ta có:

+ Vì 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên y = 0 là tiệm cận ngang.

+ Vì 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên x = -2 là tiệm cận đứng .

+ Do 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên x = 0 là tiệm cận đứng .

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng ba đường tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 7: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận.

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Từ bảng biến thiên, ta có:

+ Vì 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang;

+ Do 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên x = -2 là tiệm cận đứng.

+ Lại có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết nên x = 1 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng hai đường tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 5: Vận dụng cao.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đồ thị hàm số sau có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên x = 1 là tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên y = 2 là tiệm cận ngang.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên y = 1 là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1      B. 2

C. 3      D. 0

Tập xác định: D = (-1;1) ∪ (1;+∞). Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nên y = 0 là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba đường tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Gọi d, n lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. n + d = 1      B. n + d = 2

C. n + d = 3      D. n + d = 4

* Để căn thức có nghĩa khi 2x2 - 1 ≥ 0

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Do đó tập xác định của hàm số:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Ta có

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nên x = -1 là tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nên x = 1 không là tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

là tiệm cận ngang.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.

Suy ra: d = 1; n = 2 nên d + n = 3

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Biết rằng đồ thị hàm số sau nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng S = m2 + n2 - 2

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. S = 2      B. S = 0

C. S = -1      D. S = 1

Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nên đường thẳng y = m - 2n – 3 là tiệm cận ngang.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên x = n + m là tiệm cận đứng.

Từ giả thiết ta có

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra: S = m2 + n2 – 2 = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số sau có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m < 4      B. m > 4

C. m = 4; m = -12      D. m ≠ 4

* Ta có: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.

* Do đó để đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng thì phương trình x2 – 4x + m = 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 ( khi đó hàm sẽ suy biến).

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m = - 12      B. m > 4

C. m = -12; m > 4      D. m ≠ 4

* Ta có 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên y = 0 là tiệm cận ngang với mọi m.

* Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình x2 - 4x + m = 0 vô nghiệm

⇔ Δ' < 0 ⇔ m > 4

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số sau có hai tiệm cận ngang.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m > 1      B. m < 0

C. m < -1      D. m > 0

Khi m > 0 ta có

* Tiệm cận ngang:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Tiệm cận ngang:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Với m = 0 suy ra 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Với m < 0 thì hàm số có tiệm cận đứng là một đoạn nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Vậy với m > 0 thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số sau có đúng một tiệm cận ngang.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m = 0; m = 1      B. m ≥ 0

C. m = 1      D. m = 0

Ta có:

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

* Nếu m = 1 thì

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Suy ra hàm số chỉ có đúng một tiệm cận ngang là y = 1/2

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Do đó giá trị m = 1 thỏa yêu cầu bài toán.

* Nếu 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết , để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Vậy m = 0; m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 9: Cho hàm số sau với m là tham số thực và Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

* Phương trình x2 + 2(m - 1)x + m2 = 0 có Δ' = (m - 1)2 - m2 = -2m + 1.

Suy ra với m > 1/2 thì phương trình trên vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

* Ta có

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên y = 1 là tiệm cận ngang

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

nên y = -1 là tiệm cận ngang.

Vậy khi m > 1/2 đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số sau có đường tiệm cận ngang.

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

A. m = 0      B. m < 0

C. m > 0      D. m ≥ 0

Đồ thị hàm số 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết có đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết tồn tại hữu hạn. Ta có:

* Với m = 0 thì hàm số trở thành: 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Khi đó 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.

* Với m < 0, hàm số xác định khi mx4 + 3 > 0. Khi đó hàm số các giới hạn 5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết không tồn tại. Do đó hàm số không có tiệm cận ngang.

* Với m > 0, khi đó hàm số có tập xác định D = R và

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

5 dạng bài Tìm tiệm cận của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết là tiệm cận ngang.

Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có tiệm cận ngang.

Suy ra chọn đáp án C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12