Mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp



Chuyên đề: Mặt cầu

Mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp

Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

1. Các khái niệm cơ bản

    + Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

    + Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

    + Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

2. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của một số hình đa diện cơ bản

a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC'.

- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3...An.A'1A'2A'3...A'n, trong đó có 2 đáy A1A2A3...An và A'1A'2A'3...A'n nội tiếp đường tròn (O) và (O'). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

- Tâm: I với I là trung điểm của OO'

- Bán kính: R = IA1 = IA2 = ... = IAn

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

- Hình chóp S.ABC có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

- Hình chóp S.ABCD có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

d/ Hình chóp đều.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Cho hình chóp đều S.ABC

- Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.

- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.

- Bán kính:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ Bán kính là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC) và đáy ABC nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:

- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại O.

- Trong mp(d,SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS...

- Tìm bán kính:

Ta có: MIOA là hình chữ nhật.

Xét ΔMAI vuông tại M có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

f/ Hình chóp khác.

- Dựng trục Δ của đáy.

- Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.

- (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Bán kính: khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp.

g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chuyên đề Toán 12: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


mat-cau.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác