Các dạng bài tập Mặt cầu chọn lọc, có đáp án



Các dạng bài tập Mặt cầu chọn lọc, có đáp án

Phần Mặt cầu Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Mặt cầu hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Các dạng bài toán liên quan đến mặt cầu - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Cách xác định mặt cầu

1. Phương pháp giải

Muốn xác định tâm và bán kính của mặt cầu chúng ra cần dựa vào các tính chất sau đây:

• Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R cho trước là mặt cầu tâm O bán kính R.

• Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.

• Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tới hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k2 là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn AB và bán kính r = Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian sao cho
|MA + MB + MC + MD| = 4 .

A. Mặt nón, bán kính đáy bằng 1.

B. Mặt cầu, bán kính bằng 1.

C. Mặt trụ, bán kính bằng 1.

D. Mặt cầu, bán kính bằng 2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có |MA + MB + MC + MD| = 4
⇔ |4MG| = 4 ⇔ MG = 1

(với G là trọng tâm tứ diện ABCD).

+ Vậy tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn là mặt cầu tâm G bán kính R= 1.

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M trong khôn gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≤ 2a2 (*)

A. Mặt trụ, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

B. Mặt cầu, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

C. Khối trụ, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

D. Khối cầu, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của CD, K là trung điểm IJ.

Áp dụng định lý trung tuyến trong tam giác Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) ta có:

Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Suy ra
Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2(MI2 + MJ2) + a2
= Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Ta có Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)
= Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Suy ra MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MK2 + Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Do đó:
(*) ⇔ Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)
⇔ MK ≤ Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Vậy tập hợp các điểm M trong không gian là khối cầu tâm K bán kính R = Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

A. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)    B. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

C. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)    D. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Hướng dẫn giải:

Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Vì Δ tiếp xúc với S(O; R) tại M nên OM ⊥ Δ tại M.

Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có:

AM2 = OA2 - OM2 = d2 - R2
⇒ AM = Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Chọn B

Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

1. Phương pháp giải

Cho mặt cầu có bán kính R, khi đó:

• Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 .

• Thể tích khối cầu V = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πR3.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích là:

A. 4√3πR2 .    B. 4πR2 .    C. 6πR2 .    D. 12πR2 .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức: S = 4πR2

Diện tích mặt cầu có bán kính R√3 là:
S = 4π(R√3)2 = 12πR2 .

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng:

A. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3    B. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3    C. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3    D. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3

Hướng dẫn giải:

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là:

V = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πR3 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π(2a)3 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3 .

Chọn A

Ví dụ 3. Khối cầu ( S) có diện tích mặt cầu bằng (đvdt). Tính thể tích khối cầu.

A. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).    B. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).

C. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).    D. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).

Hướng dẫn giải:

Do khối cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng nên ta có:

S = 4πR2 = 16π ⇒ R = 2

Thể tích của khối cầu là:

V = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πR3 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π23 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).

Chọn D.

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp

1. Phương pháp giải

a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

b. Mặt cầu nội tiếp hình chóp.

*Điều kiện tồn tại mặt cầu nội tiếp được khối chóp: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp.

*Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh trùng với điểm ở đáy mà cách đều tất cả các mặt bên:

- Xác định được điểm O cách đều trên đáy.

- Nối đỉnh hình chóp với O bằng một đoạn thẳng.

- Dựng mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện nào đó ở đáy. Giao điểm của mặt phẳng phân giác với đường thẳng trên là tâm hình cầu nội tiếp cần tìm.

*Nếu đặt V là thể tích khối chóp và Stp là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp (diện tích toàn phần) thì bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. a    B. 2a    C. a√2 .    D. Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

▪ Ta có: Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB .

▪ Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .

▪ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC .

Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = a .

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = a√3 .

A. Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay    B. Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay    C. Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay    D. Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.

+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.

+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Suy ra R = SI = Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Mà AO = Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay ,
SO = Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Nên R = SI = Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, SBC là tam giác vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a, SA= 10a. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. 5a√2 .    B. 5a√5 .    C. 10a√2 .    D. 2a√5 .

Hướng dẫn giải:

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A.

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; trong mặt phẳng (SA; d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R= IA= IB= IC= IS.

Ta có tứ giác NIOA là hình chữ nhật.

Xét tam giác NAI vuông tại N có:

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp cực hay

Chọn A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85




Các loạt bài lớp 12 khác