Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

1. Phương pháp giải

a.Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.

+ Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ

⇒ O1O2 là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Gọi I là trung điểm của O1O2
⇒ IA = IB = IC= IA’ = IB’ = IC’. Suy ra:

- Trung điểm I của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

- Bán kính: R = IA
= Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Phương pháp riêng cho hình lập phương và hình hộp chữ nhật:

-Tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của một đường chéo của hình hộp (giao các đường chéo).

- Bán kính
R = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

b. Mặt cầu nội tiếp lăng trụ

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2cm. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:

A. 8cm2    B. 24cm2

C. 8√7cm2    D. 8(1 + 2√7) cm2

Hướng dẫn giải:

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

+ Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.

Theo giả thiết tam giác ABC cân nên tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB= BC

+ Diện tích tam giác ABC là
SABC = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay .AB.BC = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay AB2 = 2
⇒ AB = BC = 2

Tam giác ABC có: AC = 2√2 ⇒ IC = AC/2 = √2

Xét tam giác IOC:
IO = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay = √7

+ Suy ra chiều cao của khối hộp là

+ Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: Stp = S2 đay + Sxq

= 2.22 + 4.2.2√7 = 8 + 16√7 = 8(1 + 2√7)

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a,
BC = a√2 . Góc giữa đường chéo AC’ của mặt bên (A’C’CA) với mặt đáy bằng 300. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Hướng dẫn giải:

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Gọi O1, O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy.

+ Vì tam giác ABC vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O1 – trung điểm của cạnh huyền AB.

Tương tự ta có, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ là O2 – trung điểm của cạnh huyền A’B’.

Gọi I là trung điểm của O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu là IA.

+ Xác định góc của đường AC’ và (ABC):

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

+ Xét tam giác ACC’:
Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

+ Xét tam giác ABC có:
Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

+ xét tam giác AIO1 có:
Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Thể tích khối cầu là:
V = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Chọn D.

Ví dụ 3. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có chu vi đáy là 4cm. Diện tích của mặt cầu là:

A. S = 2π    B. S = 4π
C. S = 3π    D. S = π

Hướng dẫn giải:

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.

Chu vi đáy của hình lập phương là P = 4a = 4 cm

⇒ độ dài một cạnh là a = 1 cm

Bán kính hình cầu nội tiếp lập phương là
r = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay cm

Diện tích của mặt cầu là: S = 4π(Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay)2 cm2

Chọn D

Ví dụ 4. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % của chiếc hộp.

A. 65, 09%.    B. 47,64%.    C. 82,55 %.    D. 83,3%.

Hướng dẫn giải:

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Gọi đường kính quả bóng bàn là d. Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d; d; 3d.

Bán kính của mỗi quả bóng là r = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
V1 = d.d.3d = 3d3.

Thể tích của ba quả bóng bàn là
Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Thể tích của phần không gian còn trống trong hộp là:
V3 = V1 - V2 = 3d3 - Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. R22 = R1.R3    B. R22 = R12 + R32

C. R12 = R22 + R32    D. R32 = R1.R2 .

Hướng dẫn giải:

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC’.

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là :
R1 = IA = Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là : R2 = IO

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương là : R3 = IM

Ta có R1, R2, R3 như trên hình vẽ.

Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ cực hay

Kiểm tra ta thấy: R12 = R22 + R32

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

mat-non-mat-tru-mat-cau.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12