Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ (cực hay)

Bài viết Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ.

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ (cực hay)

Bài giảng: Các dạng bài toán liên quan đến mặt cầu - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

a.Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.

+ Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ

⇒ O₁O₂ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂
⇒ IA = IB = IC= IA’ = IB’ = IC’. Suy ra:

- Trung điểm I của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

- Bán kính: R = IA
=

Phương pháp riêng cho hình lập phương và hình hộp chữ nhật:

-Tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của một đường chéo của hình hộp (giao các đường chéo).

- Bán kính
R =

b. Mặt cầu nội tiếp lăng trụ

- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R =

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2cm. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:

A. 8cm²    B. 24cm²

C. 8√7cm²    D. 8(1 + 2√7) cm²

Hướng dẫn giải:

+ Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.

Theo giả thiết tam giác ABC cân nên tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB= BC

+ Diện tích tam giác ABC là
S_ABC = .AB.BC = = AB² = 2
⇒ AB = BC = 2

Tam giác ABC có: AC = 2√2 ⇒ IC = AC/2 = √2

Xét tam giác IOC:
IO = = √7

+ Suy ra chiều cao của khối hộp là

+ Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: S_tp = S_{2 đay} + S_xq

= 2.2² + 4.2.2√7 = 8 + 16√7 = 8(1 + 2√7)

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a,
BC = a√2 . Góc giữa đường chéo AC’ của mặt bên (A’C’CA) với mặt đáy bằng 30⁰. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải:

Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy.

+ Vì tam giác ABC vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O₁ – trung điểm của cạnh huyền AB.

Tương tự ta có, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ là O₂ – trung điểm của cạnh huyền A’B’.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu là IA.

+ Xác định góc của đường AC’ và (ABC):

+ Xét tam giác ACC’:

+ Xét tam giác ABC có:

+ xét tam giác AIO₁ có:

Thể tích khối cầu là:
V =

Chọn D.

Ví dụ 3. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có chu vi đáy là 4cm. Diện tích của mặt cầu là:

A. S = 2π    B. S = 4π
C. S = 3π    D. S = π

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.

Chu vi đáy của hình lập phương là P = 4a = 4 cm

⇒ độ dài một cạnh là a = 1 cm

Bán kính hình cầu nội tiếp lập phương là
r = = cm

Diện tích của mặt cầu là: S = 4π()² cm²

Chọn D

Ví dụ 4. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % của chiếc hộp.

A. 65, 09%.    B. 47,64%.    C. 82,55 %.    D. 83,3%.

Hướng dẫn giải:

Gọi đường kính quả bóng bàn là d. Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d; d; 3d.

Bán kính của mỗi quả bóng là r =

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:
V₁ = d.d.3d = 3d³.

Thể tích của ba quả bóng bàn là

Thể tích của phần không gian còn trống trong hộp là:
V₃ = V₁ - V₂ = 3d³ -

Phần không gian còn trống trong hộp chiếm:

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi R₁, R₂, R₃ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. R₂² = R₁.R₃    B. R₂² = R₁² + R₃²

C. R₁² = R₂² + R₃²    D. R₃² = R₁.R₂ .

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC’.

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là :
R₁ = IA =

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là : R₂ = IO

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương là : R₃ = IM

Ta có R₁, R₂, R₃ như trên hình vẽ.

Kiểm tra ta thấy: R₁² = R₂² + R₃²

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 5cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 4cm. Tính diện tích toàn phần của hình hộp đó.

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a, BC = a$\sqrt{2}$. Góc giữa đường chéo AC’ của mặt bên (A’C’CA) với mặt đáy bằng 30^o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Bài 3. Cho một hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB= a. Biết mặt phẳng (AB’C’) hợp với mặt đáy (A’B’C’) một góc bằng 45⁰. Cho một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ (hình trụ có các đường tròn đáy ngoại tiếp các mặt của hình lăng trụ). Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ.

Bài 4. Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm O, biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích mặt cầu bằng 72π. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Bài 5. Một khối gỗ hình trụ có bán kính đáy r = 10, chiều cao bằng 20. Người ta khoét rỗng khối gỗ bởi hai nửa hình cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa hình cầu. Tính tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ.

Bài 6. Tính bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a.

Bài 7. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 3a.

Bài 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a$\sqrt{3}$. Đường chéo BC' tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc bằng 60 độ. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho. Hãy tính bán kính của mặt cầu (S).

Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C' có AA' = 2AB = 2a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Bài 10. Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân cạnh a, khoảng cách giữa AB và B'C' là 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Bài 11. Một khối cầu nội tiếp trong hình lập phương có chu vi đáy là 16cm. Tính diện tích của mặt cầu.

Bài 12. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng 2a.

Bài 13. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Tính a theo R?

Bài 14. Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao hℎ không đổi và đáy là tứ giác ABCD, trong đó A, B, C, D thay đổi sao cho $\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}=-h^2$ với I là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAD đều cạnh a$\sqrt{2}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp xác định mặt cầu (cực hay)
• Phương pháp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu (cực hay)
• Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp (cực hay)
• Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón (cực hay)
• Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón (cực hay)
• Dạng bài tập về hình nón tròn xoay (cực hay, có lời giải)
• Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ (cực hay)
• Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ (cực hay, có lời giải)
• Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương (cực hay)

---