Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp (cực hay)

Bài viết Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp.

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp (cực hay)

Bài giảng: Các dạng bài toán liên quan đến mặt cầu - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

b. Mặt cầu nội tiếp hình chóp.

*Điều kiện tồn tại mặt cầu nội tiếp được khối chóp: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp.

*Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh trùng với điểm ở đáy mà cách đều tất cả các mặt bên:

- Xác định được điểm O cách đều trên đáy.

- Nối đỉnh hình chóp với O bằng một đoạn thẳng.

- Dựng mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện nào đó ở đáy. Giao điểm của mặt phẳng phân giác với đường thẳng trên là tâm hình cầu nội tiếp cần tìm.

*Nếu đặt V là thể tích khối chóp và S_tp là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp (diện tích toàn phần) thì bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. a    B. 2a    C. a√2 .    D.

Hướng dẫn giải:

▪ Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB .

▪ Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .

▪ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC .

Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = a .

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = a√3 .

A.    B.    C.    D.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.

+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.

+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có

Suy ra R = SI =

Mà AO = ,
SO =

Nên R = SI =

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy, SBC là tam giác vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a, SA= 10a. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. 5a√2 .    B. 5a√5 .    C. 10a√2 .    D. 2a√5 .

Hướng dẫn giải:

Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A.

Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; trong mặt phẳng (SA; d) vẽ trung trực cạnh SA và cắt d tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính R= IA= IB= IC= IS.

Ta có tứ giác NIOA là hình chữ nhật.

Xét tam giác NAI vuông tại N có:

Chọn A

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

A.    B.

C.    D.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

⇒ O cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S. ABCD.

Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tứ giác đều S.ABCD. (1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Khi đó tam giác SMN cân tại S nên SO cũng là phân giác của góc MSN.

Trong tam giác SMN, kẻ phân giác góc SMN cắt SO tại I.

Suy ra IO= IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên (SAB). (2)

Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SMN nên:

• Cách khác để tính bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD:

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.

Ta có: V_S.ABCD
= V_I.ABCD + V_I.SAB + V_I.SBC + V_I.SCD + V_{I. SDA}

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC

A.    B.    C.    D.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm tam giác đều ABC.

⇒ O cách đều các mặt bên của hình chóp tam giác đều S. ABC.

Suy ra mọi điểm thuộc SO cách đều các mặt bên của hình chóp tam giác đều S.ABC. (1)

Trong tam giác SAM, kẻ phân giác góc SMA cắt SO tại I.

Suy ra IO = IH hay I cách đều mặt đáy và mặt bên (SAB). (2)

Từ (1) và (2) suy ra I cách đều các mặt của hình chóp tam giác đều S.ABC.

Hay I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC.

Ta có IM là phân giác góc SMO nên .

• Cách khác để tính bán kính mặt cầu nội tiếp S. ABC

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Ta có: V_S.ABC = V_I.ABC + V_I.SAB + V_I.SBC + V_I.SCA

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = OB = OC = 1. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S.MNP có tất cả các cạnh bằng $a\sqrt{2}$. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.MNP.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC (mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp và có tâm nằm trong hình chóp).

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng đáy và bằng a. Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 độ. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp S.ABC.

Bài 7. Cho hình lập phương cạnh a. Gọi R₁, R₂, R₃ lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. R₂² = R₁.R₃.

B. R₂² = R₁² + R₃².

C. R₁² = R₂² + R₃².

D. R₃² = R₁.R₂.

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt cầu (J) (J và S cùng phía với (ABCD) tiếp xúc với (ABCD) tại A, đồng thời tiếp xúc ngoài với mặt cầu nội tiếp hình chóp. Một mặt phẳng (P) đi qua J và BC. Gọi là góc giữa (P) và (ABCD). Tính tanφ biết các đường chéo của thiết diện của hình chóp cắt bởi (P) lần lượt cắt và vuông góc với SA, SD.

Bài 9. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.

B. Tâm hình cầu nội tiếp cách đều tất cả các mặt của hình chóp vào nằm trên phân giác của góc nhị diện tạo bởi hai mặt kề nhau của hình chóp.

C. Nếu một khối đa diện có hình cầu nội tiếp thì bán kính của nó được tính theo công thức: r = $\frac{3V}{S_{tp}}$ trong đó V là thể tích khối đa diện, S_tp là diện tích toàn phần khối đa diện.

D. Tất cả đều đúng.

Bài 10. Trong mặt phẳng (P) cho hình thang ABCD cân, đáy là AB và CD ngoại tiếp đường tròn (C) tâm O, bán kính R. Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2R. Giả sử CD = 4AB.

a) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp SABCD.

b) Chứng tỏ rằng O cách đều 4 mặt bên của hình chóp SABCD. Từ đó tìm tâm và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương pháp xác định mặt cầu (cực hay)
• Phương pháp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu (cực hay)
• Phương pháp xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ (cực hay)
• Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón (cực hay)
• Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón (cực hay)
• Dạng bài tập về hình nón tròn xoay (cực hay, có lời giải)
• Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ (cực hay)
• Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ (cực hay, có lời giải)
• Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương (cực hay)

---