Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

1. Phương pháp giải

Cho hình nón (H) có bán kính đường tròn đáy là R và độ dài đường sinh là l.

+ Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:
Sxq = πR.l

+ Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện đáy:
Stp = πR.l + πR2

+ Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích hình tròn đáy và chiều cao:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600.Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón lần lượt là?

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = 600 .

Trong tam giác vuôn SAO, ta có:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Diện tích xung quanh hình nón là:
Sxq = πRl = π.Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay .a√2 = πR2

Thể tích của khối nón tròn xoay
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay (đvtt)

Chọn A

Ví dụ 2. Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3 , góc ở đỉnh là 1200. Tính thể tích của khối nón đó theo a.

A. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    B. πa3    C. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    D. 2πa3

Hướng dẫn giải:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy.

Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính là:

Do góc ở đỉnh là 1200 nên Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:
SO = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = a

Do đó chiều cao hình nón là h = SO= a.

Vậy thể tích khối nón là
V = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay πr2h = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay π.3a2.a = πa3

Chọn B.

Ví dụ 3. Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa2 . Thể tích khối nón là:

A. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    B. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay    C. 2πa3    D. √2πa3

Hướng dẫn giải:

Ta có độ dài đường sinh là l = 2a .

Do diện tích xung quanh là 2πa2 nên :

Sxq = π.R.l = 2πa2 ⇒ R = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = a

Chiều cao của hình nón là:
h = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay = √3a

Thể tích của khối nón là
V = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay πR2h = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay π.a2.√3 = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Chọn A.

Ví dụ 4. Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 3a2. Diện tích xung quanh của (N) là:

A. 6πa2    B. √2πa2    C. 6√2πa2    D. 3√2πa2

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Do cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón nên thiết diện qua trục là mặt phẳng (SAB) – với AB là đường kính của đường tròn đáy.

Theo giả thiết tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S và có diện tích 3a2 nên

SABC = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay SA2 = 3a2 ⇒ SA = √6a

Khi đó, độ dài đường sinh của hình nón là

l = SA = √6a

Do tam giác SAB là tam giác vuông cân tại S nên
AB = SA.√2 = √6a.√2 = 2√3a

Suy ra, đường cao của hình nón là:

h = SO = AB/2 = √3a

Bán kính đường tròn đáy là R = AB/2 = a√3 .

Diện tích xung quanh của (N) là:

Sxq = π.R.l = π.a√3.a.√6 = 3√2πa2

Chọn D

Ví dụ 5. Cho hình tròn có bán kính bằng 6. Cắt bỏ 1/4 hình tròn giữa hai bán kính OA và OB, rồi ghép hai bán kính đó lại sao cho hình thành một hình nón ( hình vẽ ). Tính thể tích khối nón tương ứng

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Hướng dẫn giải:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Diện tích hình tròn có bán kính bằng R = 6 là: Stron = πR2 = π62 = 36π

Cắt bỏ 1/4 hình tròn thì diện tích còn lại chính là diện tích xung quanh của nón. Đường sinh của nón là bán kính đường tròn: l = R = 6

Diện tích xung quanh của nón là:
Sxq = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay Stron = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay .36π = 27π (1)

Lại có: Sxq = π.r.l = π.r.6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: π.r.6 = 27π ⇒ r = Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Khi đó, đường cao hình nón là:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Thể tích khối nón tương ứng là:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

mat-non-mat-tru-mat-cau.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12