Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

Muốn xác định tâm và bán kính của mặt cầu chúng ra cần dựa vào các tính chất sau đây:

• Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R cho trước là mặt cầu tâm O bán kính R.

• Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.

• Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tới hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k2 là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn AB và bán kính r = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian sao cho
|MA + MB + MC + MD| = 4 .

A. Mặt nón, bán kính đáy bằng 1.

B. Mặt cầu, bán kính bằng 1.

C. Mặt trụ, bán kính bằng 1.

D. Mặt cầu, bán kính bằng 2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có |MA + MB + MC + MD| = 4
⇔ |4MG| = 4 ⇔ MG = 1

(với G là trọng tâm tứ diện ABCD).

+ Vậy tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn là mặt cầu tâm G bán kính R= 1.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M trong khôn gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≤ 2a2 (*)

A. Mặt trụ, bán kính bằng Phương pháp xác định mặt cầu cực hay .

B. Mặt cầu, bán kính bằng Phương pháp xác định mặt cầu cực hay .

C. Khối trụ, bán kính bằng Phương pháp xác định mặt cầu cực hay .

D. Khối cầu, bán kính bằng Phương pháp xác định mặt cầu cực hay .

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của CD, K là trung điểm IJ.

Áp dụng định lý trung tuyến trong tam giác Phương pháp xác định mặt cầu cực hay ta có:

Phương pháp xác định mặt cầu cực hay .

Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Suy ra
Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2(MI2 + MJ2) + a2
= Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Ta có Phương pháp xác định mặt cầu cực hay
= Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Suy ra MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MK2 + Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Do đó:
(*) ⇔ Phương pháp xác định mặt cầu cực hay
⇔ MK ≤ Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Vậy tập hợp các điểm M trong không gian là khối cầu tâm K bán kính R = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

A. Phương pháp xác định mặt cầu cực hay    B. Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

C. Phương pháp xác định mặt cầu cực hay    D. Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Hướng dẫn giải:

Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Vì Δ tiếp xúc với S(O; R) tại M nên OM ⊥ Δ tại M.

Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có:

AM2 = OA2 - OM2 = d2 - R2
⇒ AM = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Chọn B

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA ⊥ (ABC) , AB = a,
Phương pháp xác định mặt cầu cực hay = 300 , góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu S(A; a) và mặt phẳng ( SBC).

A. Mặt phẳng ( SBC) tiếp xúc mặt cầu S(A,a).

B. Mặt phẳng ( SBC) không cắt mặt cầu S(A; a).

C. Mặt phẳng ( SBC) cắt mặt cầu S(A;a) theo đường tròn lớn.

D. Mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S(A; a) theo giao tuyến là một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Phương pháp xác định mặt cầu cực hay = 600 ⇒ SA = a√3

Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A, (SBC)) .

Ta có: Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

⇒ AH = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay ⇒ d(A, (SBC)) = AH = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay < a = R

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S(A;a) theo giao tuyến là một đường tròn.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA ⊥ (ABC) , AB= a,
Phương pháp xác định mặt cầu cực hay = 300 , góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Mặt cầu S(A;a) cắt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tính bán kính của (C).

A. r = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay    B. r = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay    C. r = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay    D. r = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Hướng dẫn giải:

Ta có: Phương pháp xác định mặt cầu cực hay = 600 ⇒ SA = a√3

Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A; (SBC)).

Ta có: Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

⇒ AH = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay ⇒ d(A, (SBC)) = AH = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay < a = R

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S(A; a) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính

r = Phương pháp xác định mặt cầu cực hay

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

mat-non-mat-tru-mat-cau.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12