Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

1. Phương pháp giải

• Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Sxq = 2πrh

• Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Stp = Sxq + S2day = 2πrh + 2πr2

• Thể tích của khối trụ là: V = Sday.h = 2πr2h

Trong đó, r là bán kính đường tròn đáy của hình trụ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và góc Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay = 300 . Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:

A. √3πa2    B. 2√3πa2    C. Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay πa2    D. πa2

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

+ Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ.

Hình trụ tạo thành có:

+ Bán kính đường tròn đáy là r = AB = a

+ Đường cao của hình trụ là:
h = BC = CD.tan300 = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Suy ra, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Chọn C.

Ví dụ 2 Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

+ Gọi O là tâm của tam giác ABC và M là trung điểm BC. ( khi đó, O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp ( ngoại tiếp ) tam giác ABC – vì tam giác ABC đều)

+ Ta có: AM = AM.sinC = a.sin600 = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

+ Chiều cao tứ diện
Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC:
r = OM = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Do đó, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Chọn C.

Ví dụ 3 Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O’). Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng 450 và khoảng cách đến trục OO’ bằng Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay . Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a.

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’.

Ta có: d(AB,OO') = ED = IO' = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Tam giác ABC vuông tại C có B = 450
⇒ tam giác ABC vuông cân

⇒ BC = AC = h

Ta có:
Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Thể tích khối trụ là: V = πa2.a √2 = πa3√2

Chọn B.

Ví dụ 4 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O; R) và ( O’: R’). Tồn tại dây cung AB thuộc đường tròn (O) sao cho tam giác O’AB là tam giác đều và mặt phẳng (O’AB) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O) một góc 600. Khi đó, diện tích xung quanh Sxq hình trụ và thể tích V của khối trụ tương ứng là:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

+ Ta có OO’ là trục của hình trụ nên
OO' ⊥ (OAB) .

Gọi H là trung điểm của AB thì
Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Giả sử OH = x.
Khi đó: 0 < x < R và OO' = x.tan600 = x√3 .

+ Xét tam giác OAH, ta có: AH2 = R2 – x2.

+ Vì tam giác O’AB đều nên:
O'A = AB = 2AH = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay (1)

Mặt khác, tam giác AOO’ vuông tại O nên:

AO’2 = OO’2 + R2 = 3x2 + R2. (2)

Từ (1),(2) ⇒ 4(R2 - x2) = 3x2 + R2 ⇒ x2 = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

⇒ h = OO' = x√3 = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Gọi S là diện tích xung quanh và V là thể tích của hình trụ thì ta có:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Chọn B.

Ví dụ 5 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 450. Diện tích xung quanh hình trụ và thể tích V của khối trụ là:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

* Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

Khi đó: OM ⊥ AB và O'N ⊥ DC

Gọi I là giao điểm của MN và OO’.
Đặt R = OA, h = OO’.

* Trong tam giác IOM vuông cân tại I nên:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

* Ta có:
R2 = OA2 + AM2 + MO2 .

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

mat-non-mat-tru-mat-cau.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12