Các dạng bài tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu chọn lọc, có đáp án



Các dạng bài tập Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu chọn lọc, có đáp án

Phần Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Toán lớp 12 sẽ tổng hợp Lý thuyết, các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu tương ứng.

Tổng hợp lý thuyết Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Chủ đề: Mặt cầu

Chủ đề: Hình trụ

Chủ đề: Hình nón, khối nón

Cách xác định mặt cầu

1. Phương pháp giải

Muốn xác định tâm và bán kính của mặt cầu chúng ra cần dựa vào các tính chất sau đây:

• Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng R cho trước là mặt cầu tâm O bán kính R.

• Tập hợp tất cả những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.

• Tập hợp tất cả những điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách tới hai điểm A, B cố định bằng một hằng số k2 là mặt cầu có tâm là trung điểm O của đoạn AB và bán kính r = Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian sao cho
|MA + MB + MC + MD| = 4 .

A. Mặt nón, bán kính đáy bằng 1.

B. Mặt cầu, bán kính bằng 1.

C. Mặt trụ, bán kính bằng 1.

D. Mặt cầu, bán kính bằng 2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có |MA + MB + MC + MD| = 4
⇔ |4MG| = 4 ⇔ MG = 1

(với G là trọng tâm tứ diện ABCD).

+ Vậy tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn là mặt cầu tâm G bán kính R= 1.

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M trong khôn gian sao cho:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≤ 2a2 (*)

A. Mặt trụ, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

B. Mặt cầu, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

C. Khối trụ, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

D. Khối cầu, bán kính bằng Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm của cạnh AB, J là trung điểm của CD, K là trung điểm IJ.

Áp dụng định lý trung tuyến trong tam giác Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) ta có:

Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp) .

Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Suy ra
Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2(MI2 + MJ2) + a2
= Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Ta có Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)
= Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Suy ra MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MK2 + Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Do đó:
(*) ⇔ Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)
⇔ MK ≤ Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Vậy tập hợp các điểm M trong không gian là khối cầu tâm K bán kính R = Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?

A. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)    B. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

C. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)    D. Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Hướng dẫn giải:

Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Vì Δ tiếp xúc với S(O; R) tại M nên OM ⊥ Δ tại M.

Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có:

AM2 = OA2 - OM2 = d2 - R2
⇒ AM = Cách xác định mặt cầu cực hay (mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp)

Chọn B

Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

1. Phương pháp giải

Cho mặt cầu có bán kính R, khi đó:

• Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 .

• Thể tích khối cầu V = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πR3.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Mặt cầu có bán kính R√3 có diện tích là:

A. 4√3πR2 .    B. 4πR2 .    C. 6πR2 .    D. 12πR2 .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức: S = 4πR2

Diện tích mặt cầu có bán kính R√3 là:
S = 4π(R√3)2 = 12πR2 .

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra bằng:

A. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3    B. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3    C. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3    D. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3

Hướng dẫn giải:

Cho hình tròn đường kính 4a quay quanh đường kính của nó ta được khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là:

V = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πR3 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π(2a)3 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πa3 .

Chọn A

Ví dụ 3. Khối cầu ( S) có diện tích mặt cầu bằng (đvdt). Tính thể tích khối cầu.

A. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).    B. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).

C. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).    D. Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).

Hướng dẫn giải:

Do khối cầu (S) có diện tích mặt cầu bằng nên ta có:

S = 4πR2 = 16π ⇒ R = 2

Thể tích của khối cầu là:

V = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay πR3 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π23 = Cách tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu cực hay π (đvdt).

Chọn D.

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ

1. Phương pháp giải

• Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Sxq = 2πrh

• Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Stp = Sxq + S2day = 2πrh + 2πr2

• Thể tích của khối trụ là: V = Sday.h = 2πr2h

Trong đó, r là bán kính đường tròn đáy của hình trụ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và góc Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay = 300 . Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:

A. √3πa2    B. 2√3πa2    C. Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay πa2    D. πa2

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

+ Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ.

Hình trụ tạo thành có:

+ Bán kính đường tròn đáy là r = AB = a

+ Đường cao của hình trụ là:
h = BC = CD.tan300 = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Suy ra, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Chọn C.

Ví dụ 2 Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

+ Gọi O là tâm của tam giác ABC và M là trung điểm BC. ( khi đó, O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp ( ngoại tiếp ) tam giác ABC – vì tam giác ABC đều)

+ Ta có: AM = AM.sinC = a.sin600 = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

+ Chiều cao tứ diện
Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC:
r = OM = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Do đó, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Chọn C.

Ví dụ 3 Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O’). Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng 450 và khoảng cách đến trục OO’ bằng Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay . Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a.

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’.

Ta có: d(AB,OO') = ED = IO' = Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Tam giác ABC vuông tại C có B = 450
⇒ tam giác ABC vuông cân

⇒ BC = AC = h

Ta có:
Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay

Thể tích khối trụ là: V = πa2.a √2 = πa3√2

Chọn B.

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85




Các loạt bài lớp 12 khác