Thiết diện của hình trụ - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Hình trụ

Thiết diện của hình trụ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mặt phẳng (α) với 0 < φ < 90º.

- Cho mặt phẳng (α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.

    + Nếu k < r thì mặt phẳng (α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật.

    + Nếu k = r thì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

    + Nếu k > r thì mặt phẳng (α) không cắt mặt trụ.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a, tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối trụ

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện là hình vuông ABCD cạnh 2a

Đường cao của hình trụ là AB = 2a, bán kính đáy OB = a.

Diện tích xung quanh của khối trụ là: Sxq = 2πrh=2π.a.2a=4πa2

Diện tích toàn phần của khối trụ là Stp = 2πrh+2πr2=4πa2+2πa2=6πa2

Thể tích của khối trụ là: V=πr2 h=π.a2.2a=2πa3

Bài 2: Khối trụ có bán kính đáy R = a .Thiết diện song song với trục và cách trục khối trụ một khoảng bằng a/2 là hình chữ nhật có diện tích bằng a2 √3 .Tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆BOC cân tại O có OH là đường cao

⇒ H là trung điểm của BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABCD là hình chữ nhật nên:

SABCD = AB.BC=AB.a√3=a2 √3⇒ AB=a

Thể tích của khối trụ là:

V=πr2 h=π.a2.a= πa3

Bài 3: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD = 12 cm và góc ACD bằng 60º. Tính thể tích của khối trụ

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét tam giác ADC vuông tại C có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích của khối trụ là:

V=πr2 h=π.(2√3)2.12=144π

Bài 4: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5a và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7a. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3a. Tính diện tích của thiết diện.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABCD có AB = 7a

Từ O kẻ OH vuông góc với BC

⇒ OH=3a

∆BOC cân tại O có OH là đường cao

⇒ H là trung điểm của BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích của thiết diện là:

SABCD = AB.BC=7a.8a = 56a2

Bài 5: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4π, thiết diện qua trục là một hình vuông. Một mp (P) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung 120º. Tính diện tích thiết diện ABB’A’ .

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi h, r là chiều cao và bán kính đáy của trụ.

Thiết diện qua trục là hình vuông BCC’B’ cạnh a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dây AB căng cung 120º nên ∠(BOA) = 120º

Xét tam giác BOA có :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích thiết diện BAA’B’ là :

S=AB.BB'=2√3

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi V là thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ và V' là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số V/V'

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện qua trục là hình vuông BCC’B’

Do OB = r nên BB’ = 2r

⇒ V' = Vtrụ = πr2 h=π.r2.2r=2πr3

Gọi đáy lăng trụ tứ giác đều là hình vuông GHIK nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2√3cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc AB sao cho ∠ ABM = 60º. Thể tích của khối tứ diện ACDM. bằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABCD là hình vuông cạnh 2√3 cm

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác OBM cân tại O (OB = OM = √3) có ∠(OBM) = 60º nên ∆OBM đều

Từ M kẻ MH ⊥ AB ⇒ MH ⊥ CD (do AB // CD)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆OBM đều cạnh √3 nên MH=3/2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Một hình trụ (T) có diện tích xung quanh bằng 4π và thiết diện qua trục của hình trụ này là một hình vuông. Diện tích toàn phần của (T) là :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện là hình vuông ABCD có cạnh bằng a

⇒ BB'=a;OB=a/2

Diện tích xung quanh của hình trụ:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Stp = 2πrh+2πr2 = 4π+2π.12 = 6π

Bài 4: Cho một hình trụ (H) có trục ∆. Một mặt phẳng (P) song song với trục ∆ và cách trục ∆ một khoảng k. Nếu k > r thì kết luận nào sau đây là đúng:

A. Mp (P) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

B. Mp (P) cắt mặt trụ theo hai đường sinh.

C. Mp (P) cắt mặt trụ theo một đường sinh.

D. Mp (P) không cắt mặt trụ.

Đáp án : A

Bài 5: Khối trụ (T) có bán kính đáy là R và thiết diện qua trục là một hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ (T) trên tính theo R bằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện qua trục là hình vuông BCC’B’

Do OB = R nên BB’ = 2R

Gọi đáy lăng trụ tứ giác đều là hình vuông GHIK nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm2 và chu vi bằng 26cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần của (T) là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện là hình chữ nhật BCC’B’ có chiều dài BB’, chiều rộng BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chọn A

Bài 7: Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2cm được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 16cm2. Thể tích của (T) là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện là hình vuông ABCD

Ta có: SABCD = AB2 = 16 ⇒ AB=4 (cm)

Từ O kẻ OH ⊥ BC ⇒ OH=2 cm

Do ∆OBC cân tại O, OH ⊥ BC nên H là trung điểm BC

⇒ BH=BC/2=2

Xét ∆OBH vuông tại H có OH = BH = 2 cm

⇒ ∆OBH vuông cân tại H ⇒ OB=OH√2=2√2 (cm)

Thể tích của hình trụ là:

V=πR2 h=π.OB2.AB=π.(2√2)2.4=32π(cm3)

Bài 8: Một hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy bằng 5. Mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (P) là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy nên OB=AB=5.

Mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ABCD

⇒ BC=AB=5

Từ O Từ O kẻ OH ⊥ BC ⇒ Khoảng cách từ trục của khối trụ đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn OH

Do ∆OBC cân tại O, OH ⊥ BC nên H là trung điểm BC

⇒ BH=BC/2=5/2

Xét ∆OBH vuông tại H:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng a. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện là hình vuông BCC’B’ cạnh a

⇒ BB'=a; OB= a/2

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích của hình trụ là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Cho hình trụ có trục O1 O2. Một mặt phẳng (α) song song với trục O1 O2, cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy hình trụ. Góc ∠(O1 OO2) bằng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABCD là hình chữ nhật có tâm O ⇒ O là trung điểm của AC

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ O1 M ⊥ AB;OM ⊥ AB và theo giả thiết AO = AO1

Hai tam giác vuông MAO và MAO1 có:

MA chung

AO = AO1

⇒ ∆MAO=∆MAO1 ⇒ OM=O1 M

Ta có OM // BC ; BC ⊥ (O1 AB) nên OM ⊥ (O1 AB)

⇒ ∆OMO1 vuông tại M

Lại có OM=O1 M

⇒ ∆OMO1 vuông cân tại M

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của O1 O2

⇒ OM O1H là hình chữ nhật

⇒ OH ⊥ OO1 ⇒ Tam giác OO1 O2 cân tại O

Tam giác OO1 O2 cân tại O có ∠(OO1 O2)=45º

⇒ Tam giác OO1 O2 vuông cân tại O

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


hinh-tru.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác