Thiết diện của hình nón - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề: Hình nón, khối nón

Thiết diện của hình nón

Phương pháp giải

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.

Sxq = πRl = π.a.2a = 2πa2

Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB

⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối nón là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

    + ∆SAB vuông cân tại S

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    + Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a. Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện tích bằng 64π/9 . a2. Khi đó, thể tích của khối nón (N) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đáy là hình tròn tâm O’ có bán kính r

Diện tích của thiết diện:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo giả thiết, SO = 3a, OO’ = a ⇒ SO’ = 2a

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy thể tích khối chóp là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Tính diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng √3 và thiết diện qua trục là tam giác đều.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện là ∆SAB, đặt AB = a.

Xét ∆SOB vuông tại O, OH là đường cao có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chuyên đề Toán 12: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


hinh-non-khoi-non.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác