Cách xác định Thiết diện của hình nón (cực hay)

---

---

Bài viết Cách xác định Thiết diện của hình nón với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xác định Thiết diện của hình nón.

Cách xác định Thiết diện của hình nón (cực hay)

Bài giảng: Tất tần tật về Mặt nón - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Lời giải:

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.

S_xq = πRl = π.a.2a = 2πa²

Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.

Lời giải:

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB

⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2

Thể tích khối nón là:

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện

Lời giải:

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

    + ∆SAB vuông cân tại S

    + Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Ta có:

Bài 4: Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a. Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện tích bằng 64π/9 . a². Khi đó, thể tích của khối nón (N) bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đáy là hình tròn tâm O’ có bán kính r

Diện tích của thiết diện:

Theo giả thiết, SO = 3a, OO’ = a ⇒ SO’ = 2a

Ta có:

Vậy thể tích khối chóp là:

Bài 5: Tính diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng √3 và thiết diện qua trục là tam giác đều.

Lời giải:

Thiết diện là ∆SAB, đặt AB = a.

Xét ∆SOB vuông tại O, OH là đường cao có:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 3a². Diện tích xung quanh của (N) là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

∆SAB vuông cân tại S

Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π.AO.SA = π.a√6.a√3 = 3πa² √2

Bài 2: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích 50 (cm²). Thể tích khối nón là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

∆SAB vuông cân tại S

Thể tích của khối nón là:

Bài 3: Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều cạnh là 6cm. Thiết diện qua hai đường sinh và hai đường sinh tạo thành góc 30º, thì diện tích của nó tính bằng cm² là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

∆SAB đều có cạnh bằng 6 ⇒ SA=6

∆SAC cân tại S nên SA = SC = 6

Bài 4: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 2a. Thể tích của khối nón bằng

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

∆SAB vuông cân tại S có AB = 2a

∆SAO vuông cân tại O có AO=SO=AB/2=a

Thể tích của khối nón là:

Bài 5: Cho hình nón có đáy là đường tròn đường kính 10, chiều cao 15. Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn. Thể tích của khối nón có đường cao bằng 6 là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có:

Vậy thể tích khối chóp có đường cao bằng 6 là:

Bài 6: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60º. Diện tích của thiết diện này bằng:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60º là ∆SAC

+ ∆SAB vuông cân tại S, có SA = a

+ Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC;SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Ta có:

Bài 7: Hình nón có đường cao 20 cm, bán kính đáy 25 cm. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 12cm. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ OH ⊥ SM

∆SAC cân tại S nên SM ⊥ AC

Lại có SO ⊥ AC

⇒ (SMO) ⊥ AC ⇒ OH ⊥ AC

Do đó, khoảng cách từ tâm đến (P) là độ dài đoạn OH ⇒ OH=12

Xét tam giác SMO vuông tại O, OH là đường cao có:

Bài 8: Một hình nón đỉnh S có tâm mặt đáy là O. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng (P) đi qua S được thiết diện là một tam giác đều cạnh A. Biết góc giữa (P) và mặt đáy bằng 45º. Thể tích khối nón được tính theo a là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAC

Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ OH ⊥ SM

∆SAC cân tại S nên SM ⊥ AC

Lại có SO ⊥ AC

⇒ (SMO) ⊥ AC ⇒ OM ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (P) và mặt đáy là góc giữa SM và OM

⇒ ∠(SMO) = 45º

Theo giả thiết ∆SAC đều cạnh a nên SA=a; SM=(a√3)/2

Xét tam giác SMO vuông tại O có ∠(SMO) = 45º

⇒ ∆SMO vuông cân tại O

Bài 9: Cho hình nón có độ dài đường sinh là l=4 cm, bán kính đường tròn đáy là r=2 cm. Thiết diện qua trục của hình nón là hình gì?

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Bán kính đáy r=2 cm ⇒ Đường kính đáy là d = 4 cm

⇒ l=d=4cm

⇒ Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 4 cm.

Bài 10: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2√3. Thể tích của khối nón này là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

∆SAB vuông cân tại S có AB=2√3

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biết rằng thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều có diện tích bằng $a^2\sqrt{3}$. Tính thể tích khối nón đã cho.

Bài 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, đường sinh bằng a. Tính diện tích thiết diện qua đỉnh hình nón và tạo với đáy một góc 60°.

Bài 3. Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

Bài 4. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích 100cm². Tính thể tích khối nón.

Bài 5. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 4a. Tính tể tích của khối nón đó.

Bài 6. Một hình nón có chiều cao bằng 2a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón.

Bài 7. Một hình nón có thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng 2a$\sqrt{2}$. Tính thể tích V của khối nón.

Bài 8. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

Bài 9. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng $a\sqrt{3}$, góc ở đỉnh là 120 độ. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Tính diện tích lớn nhất S_max của thiết điện đó.

Bài 10. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một mặt phẳng chứa đỉnh S và giao tuyến với mặt phẳng đáy là AB. Khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng (P) là 12 cm. Tính diện tích S của thiết diện của (P) với khối nón.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay
• Lý thuyết Hình nón, khối nón
• Dạng 1: Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón
• Dạng 2: Thiết diện của hình nón

---

---

---