Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Thiết diện của hình nón - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Hình nón, khối nón

Thiết diện của hình nón

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.

Sxq = πRl = π.a.2a = 2πa2

Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB

⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối nón là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

    + ∆SAB vuông cân tại S

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    + Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Khối nón (N) có chiều cao bằng 3a. Thiết diện song song và cách mặt đáy một đoạn bằng a, có diện tích bằng 64π/9 . a2. Khi đó, thể tích của khối nón (N) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đáy là hình tròn tâm O’ có bán kính r

Diện tích của thiết diện:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo giả thiết, SO = 3a, OO’ = a ⇒ SO’ = 2a

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy thể tích khối chóp là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Tính diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng √3 và thiết diện qua trục là tam giác đều.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện là ∆SAB, đặt AB = a.

Xét ∆SOB vuông tại O, OH là đường cao có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cắt hình nón (N) bằng một mặt phẳng đi qua trục của hình nón được thiết diện là một tam giác vuông cân có diện tích bằng 3a2. Diện tích xung quanh của (N) là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆SAB vuông cân tại S

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích xung quanh của hình nón là:

Sxq = πrl = π.AO.SA = π.a√6.a√3 = 3πa2 √2

Bài 2: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có diện tích 50 (cm2). Thể tích khối nón là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆SAB vuông cân tại S

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích của khối nón là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều cạnh là 6cm. Thiết diện qua hai đường sinh và hai đường sinh tạo thành góc 30º, thì diện tích của nó tính bằng cm2 là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆SAB đều có cạnh bằng 6 ⇒ SA=6

∆SAC cân tại S nên SA = SC = 6

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh huyền 2a. Thể tích của khối nón bằng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆SAB vuông cân tại S có AB = 2a

∆SAO vuông cân tại O có AO=SO=AB/2=a

Thể tích của khối nón là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình nón có đáy là đường tròn đường kính 10, chiều cao 15. Mặt phẳng vuông góc với trục cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn. Thể tích của khối nón có đường cao bằng 6 là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy thể tích khối chóp có đường cao bằng 6 là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60º. Diện tích của thiết diện này bằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60º là ∆SAC

+ ∆SAB vuông cân tại S, có SA = a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC;SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Hình nón có đường cao 20 cm, bán kính đáy 25 cm. Một mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm là 12cm. Diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình nón là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ OH ⊥ SM

∆SAC cân tại S nên SM ⊥ AC

Lại có SO ⊥ AC

⇒ (SMO) ⊥ AC ⇒ OH ⊥ AC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do đó, khoảng cách từ tâm đến (P) là độ dài đoạn OH ⇒ OH=12

Xét tam giác SMO vuông tại O, OH là đường cao có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Một hình nón đỉnh S có tâm mặt đáy là O. Cắt hình nón bởi một mặt phẳng (P) đi qua S được thiết diện là một tam giác đều cạnh A. Biết góc giữa (P) và mặt đáy bằng 45º. Thể tích khối nón được tính theo a là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAC

Gọi M là trung điểm của AC. Kẻ OH ⊥ SM

∆SAC cân tại S nên SM ⊥ AC

Lại có SO ⊥ AC

⇒ (SMO) ⊥ AC ⇒ OM ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (P) và mặt đáy là góc giữa SM và OM

⇒ ∠(SMO) = 45º

Theo giả thiết ∆SAC đều cạnh a nên SA=a; SM=(a√3)/2

Xét tam giác SMO vuông tại O có ∠(SMO) = 45º

⇒ ∆SMO vuông cân tại O

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Cho hình nón có độ dài đường sinh là l=4 cm, bán kính đường tròn đáy là r=2 cm. Thiết diện qua trục của hình nón là hình gì?

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Bán kính đáy r=2 cm ⇒ Đường kính đáy là d = 4 cm

⇒ l=d=4cm

⇒ Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 4 cm.

Bài 10: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2√3. Thể tích của khối nón này là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆SAB vuông cân tại S có AB=2√3

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K tại khoahoc.vietjack.com


hinh-non-khoi-non.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác