Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Mặt cầu

Tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp

A. Tự luận

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là trung điểm của SC

Xét các vuông tại A ∆SAC; ∆SAD; ∆SAB có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ ∆SBC; ∆SCD vuông tại C

Hình chóp S.ABCD có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối cầu là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với (ABC), ∆ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:

AC2 = BC2 + AB2 = 16a2 + 9a2 = 25a2

DB2 = DA2 + AB2 = 25a2 + 9a2 = 34a2

DC2 = DA2 + AC2 = 25a2 + 25a2 = 50a2

Xét ∆DBC có:

DB2 + BC2 = 34a2 + 16a2 = 50a2 = DC2

⇒ ∆DBC vuông tại B

Gọi O là trung điểm của CD

∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến

⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1)

∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến

⇒ OB = OC = OD = CD/2 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30º. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là tâm đáy ABCD

Hình chóp S.ABCD đều nên SO ⊥ (ABCD)

OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD)

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và đáy là góc ∠(SAO)=30º

Gọi M là trung điểm của SA. Trung trực của SA cắt SO tại I

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: ∆SMI ~ ∆SOA (g.g)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét ∆SOA vuông tại O, ∠(SAO) = 30º có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích mặt cầu là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều có cạnh đáy bằng 2√3, cạnh bên bằng √5. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức giải nhanh:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Công thức tính nhanh: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chứng minh:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O, O’ là tâm của ∆ABC và ∆A' B' C' là OO’ là trục của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và ∆A' B' C'.

Gọi I là trung điểm của OO’ thì IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ. Bán kính mặt cầu là R = IA.

∆AOI vuông có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2√3. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức giải nhanh:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trong đó, a = 2; b=2√3 ta được:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Công thức tính nhanh: Cho hính chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối cầu ngoại tiếp:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chứng minh:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) thì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đều cạnh a.

Mặt phẳng trung trực của SA cắt SA tại I và cắt SO tại K

Khi đó SK = KB = KC hay K là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tam giác SOA vuông tại O

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Trắc nghiệm

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân ABCD với AB=2a, BC=CD=DA=a và SA (ABCD). Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB và cắt AB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Tính đường kính khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Nhận xét hình thang ABCD cân và AB =2AD =2BC = 2CD =2a nên ∠(ACB) = ∠(ADB) = 90º

Mặt phẳng qua A vuông góc với SB tại M nên AMB = 90º.

Ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC)

Do đó AN ⊥ BC và AN ⊥ SB nên AN ⊥ (SBC)

⇒ AN ⊥ BN, hay ANB = 90º

Ta cũng có AP ⊥ SB và AP ⊥ BD nên AP ⊥ (SBD) ⇒ AP ⊥ BP, hay APB = 90º

Ta thấy các điểm C,D,M,N đều nhìn AB dưới một góc vuông.

Vậy AB chính là đường kính của khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là trọng tâm của tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đường trung trực của SA cắt SA tại N và cắt đường thẳng đi qua O, song song với SA tại I

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

⇒ IO ⊥ (ABC) và IN ⊥ SA ⇒ AOIN là hình chữ nhật.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a. Cạnh bên SA vuông góc mp(ABC) và SC hợp với đáy một góc bằng 60º. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

⇒ Góc giữa SC và (ABC) là góc ∠(SCA) = 60º

Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

AC2=AB2+BC2=a2+a2=2a2

SA=AC.tan⁡∠(SCA) =a√2.tan⁡60º =a√6

SC2=SA2+AC2=6a2+2a2=8a2

SB2=SA2+AB2=6a2+a2=7a2

Ta có:

SB2+BC2=7a2+a2=8a2=SC2

⇒ ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có: ∠(SAC) = ∠(SBC) =90º

Gọi O là trung điểm của SC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a.Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Áp dụng công thức giải nhanh với lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a, ta được:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3, BC = 4. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) và SC hợp với (ABC) góc 45º. Thể tích hình cầu ngoại tiếp S.ABC là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

⇒ Góc giữa SC và (ABC) là góc ∠(SCA) =45º

Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

AC2=AB2+BC2=32+42=25 ⇒ AC=5

SA=AC.tan∠⁡(SCA) =5.tan⁡45º =5

SC2=SA2+AC2=25+25=50 ⇒ SC=5√2

SB2=SA2+AB2=25+9=34

Ta có:

SB2+BC2=34+16=50=SC2

⇒ ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có: ∠(SAC) = ∠(SBC) =90º

Gọi O là trung điểm của SC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB

Vì ∆SAB đều nên SH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC); SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABC)

⇒ SH là đường cao của hình chóp S.ABC

Gọi G là trọng tâm của ∆ABC ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH ⇒ d ⊥ (ABC)

Gọi K là trung điểm của SC , vì ∆SHC vuông cân tại H (SH = HC) ⇒ HK là đường trung trực ứng với SC.

Gọi I = d ∩ HK ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Xét hai tam giác đều ∆ABC=∆SAB có độ dài các cạnh bằng

G là trọng tâm ∆ABC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét ∆HIG vuông tại G, ∠(KHC) = 45º nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét ∆CIG vuông tại G

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp của khối lập phương ABCD. A’B’C’D’ bằng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi I là trung điểm của A’C

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương ABCD.A’B’C’D’

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên

SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Gọi G là trọng tâm của ∆SAB đều ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB

Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.

∆SAB đều cạnh a, G là trọng tâm

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trong tam giác vuông SGI tại G :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài tập tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp (phần 2)

Bài 1: Cạnh bên của một hình chóp tam giác đều bằng a tạo với mặt đáy một góc 30º. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi O là tâm đáy ABC

⇒ SO ⊥ (ABC)

⇒ Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc ∠(SAO) =30º

Xét ∆SAO vuông tại O có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Áp dụng công thức giải nhanh:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích mặt cầu:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt phẳng (A’B’C’) một góc 60º và G là trọng tâm ∆ABC . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A’B’C’ bằng:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi M là trung điểm của B’C’

Ta có : (A' AM) ⊥ B'C' ⇒ AM ⊥ B'C'

A'M ⊥ B'C'

⇒ Góc giữa (AB’C’) và (A’B’C’) là góc giữa AM và A’M

⇒ ∠(AMA') =60º

∆A’B’C’ đều cạnh a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đường trung trực của GA’ cắt GA’ tại N và cắt GG’ tại I

⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp G.A’B’C’

Xét ∆A’GA vuông tại A có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: ∆GIN ~ ∆GA'G'

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠(BAD) =60º. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm M của cạnh AB. Biết SD = a√3 Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

ABCD là hình thoi cạnh a, ∠(BAD) =60º

⇒ ∆ABD đều cạnh a

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi P là trung điểm SA, Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

(Q ∈ SM)

Ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi d1 là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD (T là tâm của tam giác đều ABD)

d2 là đường thẳng đi qua Q và vuông góc (SAB)

O = d1 ∩ d2

MQOT là hình chữ nhật,

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bán kính mặt cầu

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Thể tích khối cầu là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là trung điểm của AD suy ra SH ⊥ (ABCD).

Dễ thấy tâm I của mặt cầu nằm trên trục d đi qua trung điểm O của MN và vuông góc với mặt phẳng (ABCD), I và S cùng phía so với mp (ABCD).

Ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

∆HNO vuông tại N có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: OC2+OI2=R2=IK2+KS2

Đặt OI=x thì ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). Đẳng thức nào sau đây sai?

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình lập phương. Tính tỉ số R1/R2.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

R1 là bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a

⇒ R1=a/2

R2 là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a

⇒ R2=(a√3)/2

Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A, AB = a, AC = 2a, SA = SB = SC và mặt bên (SAB) hợp với đáy (ABC) một góc 60º. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có SA = SB = SC nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là trung điểm của BC.

Vì ∆ABC vuông tại A nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đó SO chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay SO ⊥ (ABC)

Gọi K là trung điểm của AB. Do ∆SAB cân tại S nên SK ⊥ AB

KO là đường trung bình của ∆ABC nên KO // AC

Mà AC ⊥ AB nên KO ⊥ AB

Theo đề bài, góc giữa (SAB) và (ABC) bằng 60º

⇒ ∠(SKO) = 60º

Ta có: OK=AC/2=a

Trong ∆SKO vuông tại O có:

SO=KO.tan⁡∠(SKO) =a.tan⁡60º=a√3

Trong mặt phẳng (SBC), đường trung trực của SC cắt SO tại J

⇒ J là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆SBC

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ JS = JA = JB = JC

⇒ J là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lúc đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R = SJ

Gọi I là trung điểm của SC

Ta có: ∆SIJ ~ ∆SOC

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


mat-cau.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác