Tổng hợp lý thuyết Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Tổng hợp lý thuyết Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Dưới đây là phần tổng hợp kiến thức, công thức, lý thuyết Toán lớp 12 Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu ngắn gọn, chi tiết. Hi vọng tài liệu Lý thuyết Toán lớp 12 theo chương này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức môn Toán lớp 12.

Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay

A. Tóm tắt lý thuyết

I. MẶT NÓN

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải

1. Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0^o < β ≤ 90^o . Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).

- Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

- Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình nón tròn xoay

Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

- Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

- Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

3. Công thức diện tích hình nón và thể tích khối nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

- Thể tích khối nón: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải .

4. Tính chất:

- TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(P) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(P) cắt mặt nón theo 2 đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân.

+ Nếu mp(P) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(Q) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mp(Q) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu mp(Q) song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu mp(Q) song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.

II. MẶT TRỤ

1. Mặt trụ tròn xoay

Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.

- Đường thẳng Δ được gọi là trục.

- Đường thẳng l được gọi là đường sinh.

- Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2. Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

- Đường thẳng AB được gọi là trục.

- Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.

- Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.

- Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.

- Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3. Công thức tính diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

Cho hình trụ có chiều cao là và bán kính đáy bằng r, khi đó:

- Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

- Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + 2.S_Đay = 2πrh + 2πr²

- Thể tích khối trụ: V = B.h = πr²h

4. Tính chất:

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên α và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinφ, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0⁰ < φ < 90⁰.

- Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng d.

+ Nếu d < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật.

+ Nếu d = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

+ Nếu d > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.

Lý thuyết Mặt cầu

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là: S(O; R). Khi đó S(O; R) = {M|OM = R}

2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A bất kì, khi đó:

- Nếu OA = R ⇔ A ∈ S(O; R). Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho OA→ = -OB→ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.

- Nếu OA < R ⇔ A nằm trong mặt cầu.

- Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu.

⇒ Khối cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM ≤ R.

3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một mp(P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và H là hình chiếu của O trên mp(P) ⇒ d = OH.

- Nếu d < R ⇔ mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là H và bán kính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải (hình a).

- Nếu d > R ⇔ mp(P) không cắt mặt cầu S(O; R) (hình b).

- Nếu d = R ⇔ mp(P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S(O; R) tiếp xúc mp(P). Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là s(O, (P)) = R (hình c).

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và một đường thẳng Δ. Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng Δ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng Δ. Khi đó:

- Nếu d > R ⇔ Δ không cắt mặt cầu S(O; R).

- Nếu d < R ⇔ Δ cắt mặt cầu S(O; R) tại hai điểm phân biệt.

- Nếu d = R ⇔ Δ và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu là d = d(O, Δ) = R.

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì:

- Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R).

- Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S(O; R).

5. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

• Diện tích mặt cầu: S_C = 4πR².

• Thể tích mặt cầu: V_C = (4/3)πR³.

B. Kĩ năng giải bài tập

I. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

1. Các khái niệm cơ bản

* Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

* Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

* Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

* Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

* Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản

a) Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC'.

- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Bán kính: R = AC'/2 .

b) Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Xét hình lăng trụ đứng A₁A₂A₃...A_n.A'₁A'₂A'₃...A'_n , trong đó có 2 đáy A₁A₂A₃...A_n và A'₁A'₂A'₃...A'_n nội tiếp đường tròn (O) và (O'). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

- Tâm: I với I là trung điểm của OO'.

- Bán kính: R = IA₁ = IA₂ = ... = IA'_n .

c) Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

- Hình chóp S.ABC có Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải .

+ Tâm: I là trung điểm của SC.

+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC. .

- Hình chóp S.ABCD có

+ Tâm: I là trung điểm của SC.

+ Bán kính: R = SC/2 = IA = IB = IC = ID.

d) Hình chóp đều.

Cho hình chóp đều S.ABC ...

- Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.

- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp(SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.

- Bán kính:

Ta có: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải Bán kính là:

e) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Cho hình chóp S.ABC... có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC...) và đáy ABC... nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC... được xác định như sau:

- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp(ABC...) tại O.

- Trong mp(d, SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = ...

- Tìm bán kính:

Ta có: MIOB là hình chữ nhật.

Xét ΔMAI vuông tại M có:

f) Hình chóp khác

- Dựng trục Δ của đáy.

- Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.

- (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

g) Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.

Cho hình chóp S.A₁A₂...A_n (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên.

Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu: Δ ∩ mp(α) = {O}

- Bán kính: R = SA (= SO) . Tuỳ vào từng trường hợp.

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.

Tính chất: ∀M ∈ Δ: MA = MB = MC

Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ Δ

2. Các bước xác định trục:

- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

- Bước 2: Qua H dựng Δ vuông góc với mặt phẳng đáy.

VD: Một số trường hợp đặc biệt

3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

ΔSMO đồng dạng với ΔSIA Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải .

4. Nhận xét quan trọng:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải ⇒ SM là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.

Ví dụ: Cho Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải . Theo đề bài:

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB

Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông

⇒ nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.

Gọi là trung điểm SC ⇒ I là tâm MCNT khối chóp và bán kính R = SI.

Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.

+ Vẽ SG ⊥ (ABC) thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

+ Trên mặt phẳng (SGC) , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC và bán kính R = IS.

+ Ta có Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Mặt bên (SAB) ⊥ (ABC) và ΔSAB đều. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC .

Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC (do MA = MB = MC ).

Dựng d₁ là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC (d₁ qua M và song song SH).

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAB và d₂ là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB, d₂ cắt d₁ tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

⇒ Bán kính R = SI. Xét Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi tốt nghiệp THPT khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official