Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập

I. LÝ THUYẾT

1.  Vectơ chỉ phương của đường thẳng

-  Vectơ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ  song song hoặc trùng với đường thẳng d.

-  Nếulà vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơvới k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d => đường thẳng d có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương.

-  Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phươngcủa nó.

2.  Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng

-  Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phươnglà phương trình có dạng trong đó t là tham số.

-  Nếuthì ta có thể viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc như sau:

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng

Phương pháp giải:

Đường thẳng, hoặcthì d đi qua M₀(x₀;y₀;z₀) và có 1 VTCP .

là 1 VTCP của d thì   cũng là 1 VTCP của d.

Một số dạng thường gặp:

+) d qua hai điểm A, B thìlà 1 VTCP của d.

+) (d) ⊥ (P): Ax + By + Cz + D = 0 thì (A; B; C) là 1 VTCP của d.

+) (d) || (Δ) mà (Δ) có VTCP  thì cũng là 1 VTCP của d.

+) (d) = (P) ∩ (Q) thìlà 1 VTCP của d.

+) (d) ⊥ (d₁) và (d) ⊥ (d₂) thìlà 1 VTCP của d.

+) (d) || (P) và (d) ⊥ (Δ) thìlà 1 VTCP của d.

Ví dụ 1: Trong không gian cho A (1; 1; 0) và B (0; 1; 2). Vectơ nào sau đây là một VTCP của đường thẳng AB?

Hướng dẫn giải: 

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là  

Chọn B. 

Ví dụ 2: Cho (P): 3x – y + 2z – 7 = 0 và (Q): x + 3y – 2z + 3 = 0. Biết d là giao tuyến của (P) và (Q), một VTCP của d là:

Hướng dẫn giải:  

(P) có vectơ pháp tuyến là

(Q) có vectơ pháp tuyến là

Vì d là là giao tuyến của (P) và (Q) nên ta có

Ta chọn VTCP là

Chọn A. 

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết vectơ chỉ phương.

Phương pháp giải:

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) và có vectơ chỉ phương. 

+) Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

+) Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ là:

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm A, B. 

+) Xác định vectơ chỉ phương của Δ là

+) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A và có VTCP là

c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d. 

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là

+) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm M và có VTCP là

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu đường thẳng Δ song song với trục Ox thì có VTCP là

Nếu đường thẳng Δ song song với trục Oy thì có VTCP là

Nếu đường thẳng Δ song song với trục Oz thì có VTCP là

d) Loại 4: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α). 

+) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ là

+) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm M và có VTCP là

Chú ý: Các trường hợp đặc biệt.

Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là

Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là

Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M (1; 2; -3) và có vectơ chỉ phương

Hướng dẫn giải:  

Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2; 3; -1), B (1; 2; 4), phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B là

Hướng dẫn giải:  

Đường thẳng d đi qua điểm A và nhậnlàm vectơ chỉ phương.

Nên phương trình đường thẳng d là:  

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M (4; -2; 2) và song song với đường thẳng

Hướng dẫn giải:  

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là

Vì đường thẳng Δ song song với đường thẳng d nên

Vì Δ đi qua điểm M nên ta có phương trình đường thẳng Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A (-2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x – 3y + 6z + 19 = 0.

Hướng dẫn giải:  

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là 

Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) nên

Vì Δ đi qua điểm A (-2; 4; 3) nên phương trình đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d₁ và thỏa mãn điều kiện khác 

a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀;z₀) , vuông góc và cắt đường thẳng d.

Phương pháp giải:

Gọi H = (Δ) ∩ d

Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện

Δ là đường thẳng đi qua 2 điểm M và H. 

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2; 3; -1) và đường thẳngGọi Δ là đưởng thẳng qua M, vuông góc và cắt d. Viết phương trình của Δ

Hướng dẫn giải:  

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là

Gọi N là giao điểm của Δ và d. Vì N ∈ d => N (2t; 4t; 3 + t).

Suy ra

Vì

Khi đó:

Suy ra Δ có một vectơ chỉ phương là. Mà Δ đi qua M nên phương trình đường thẳng

Chọn C

b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d₂

Phương pháp giải:

Gọi B = Δ ∩ d₂.

Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện

Δ là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. 

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -1; 3) và hai đường thẳng: 

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d₂

Hướng dẫn giải:

Gọi:

Đường thẳng d nhậnlà một VTCP.

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là

Ta có:  

Đường thẳng d qua A (1; -1; 3) và nhậnlà một VTCP nên phương trình đường thẳng d là

Chọn C

Loại 3: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂ 

Phương pháp giải:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d₁, d và d₂.

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

cùng phương.Từ đó tìm ra A và B. 

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; -1; -6) và hai đường thẳngĐường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d₁ ;d₂ tại hai điểm A, B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Hướng dẫn giải

Vì A thuộcnên A (1 + 2t; 1 – t; -1 + t).

Vì B thuộcnên B (-2 + 3t’; -1 + t’; 2 + 2t’).

Suy ra

Ta có A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi

Với t = 1, t’ = 2 ta được A (3; 0; 0), B (4; 1; 6), suy ra

Chọn A. 

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian cho đường thẳngMột vectơ chỉ phương của d là: 

Câu 2: Trong không gian cho M (1; 2; 3). Gọi M₁;M₂ lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy. Vectơ nào sau đây là VTCP của M₁,M₂ ?

Câu 3: Trong không gian cho điểm A (0; 1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + z – 4 = 0. Đường thẳng Δ qua A, cắtvà song song với (P) có một VTCP là:

Câu 4: Trong không gian cho đường thẳng d có phương trình. Một vectơ chỉ phương của d là

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3; -2; 0), B (1; 1; 4), C (-5; 3; 2), viết phương trình đường thẳng AM với M là trung điểm của đoạn thẳng BC

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (5; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). 

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 4), B (-1; 5; 1), C (3; 2; 1) và mặt phẳng (α): - x + 4y – 2z + 6 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với (α).

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz chođiểm A (3; 2; 1). Viết phương trình đường thẳng Δ qua A, cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M (-1; 2; -3) và song song với đường thẳng

Câu 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A (3; -1; -4) cắt trục Oy và song song với mặt phẳng (P): 2x + y = 0. 

ĐÁP ÁN

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	D	D	B	C	D	B	D	D	A	C

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm S(1; 2; -3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(0;2;5\right)$.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(0; 3; -1), N(1; 2; 4). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M, N đã cho.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M (4; -2; 2) và song song với đường thẳng d: $\frac{x-2}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{5}$.

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm P(-2; 0; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x – 2y + 3z + 5 = 0.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; -1; -6) và hai đường thẳng d₁: $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{1}1$; d₂: $\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}$ Đường thẳng đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng d₁ ;d₂ tại hai điểm E, F. Tính độ dài đoạn thẳng EF.

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Phương trình mặt cầu và cách giải
• Các bài toán về Vị trí tương đối trong không gian và cách giải
• Các bài toán về Góc trong không gian và cách giải
• Các bài toán về Khoảng cách trong không gian và cách giải
• Bài toán Cực trị trong hình học không gian và cách giải

---

---

---