Các bài toán về Vị trí tương đối trong không gian và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Các bài toán về Vị trí tương đối trong không gian và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Các bài toán về Vị trí tương đối trong không gian và cách giải

I. LÝ THUYẾT

Trong không gian Oxyz ta xét các vị trí tương đối:

1. Giữa hai mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Song song.

+) Cắt nhau (trong trường hợp này có bao gồm 2 mặt phẳng vuông góc).

+) Trùng nhau.

2. Giữa đường thẳng và mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Song song.

+) Cắt nhau.

+) Đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

3. Giữa mặt cầu và mặt phẳng bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Cắt nhau (giao tuyến là một hình tròn).

+) Tiếp xúc nhau.

+) Không có điểm chung.

4. Giữa đường thẳng và mặt cầu bao gồm 3 vị trí tương đối:

+) Không cắt nhau.

+) Tiếp xúc nhau.

+) Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

5. Giữa đường thẳng và đường thẳng bao gồm 4 vị trí tương đối:

+) Song song.

+) Cắt nhau.

+) Trùng nhau.

+) Chéo nhau. 

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 30 = 0 và (Q): 4x – 6y + 8z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là

A. Song song.                             

B. Trùng nhau.

C. Cắt nhưng không vuông góc.  

D. Vuông góc.

Hướng dẫn giải

Vìnên (P) // (Q).

Chọn A.

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng:và mặt phẳng (α):Ax + By + Cz + D = 0.

Xét hệ phương trình:

+) (*) có nghiệm duy nhất <=> d cắt (α)  

+) (*)  vô nghiệm <=> d // (α)  

+) (*) vô số nghiệm <=> d ⊂ (α) 

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. d // (P).

B. d ⊂ (P).

C. d cắt (P).

D. d ⊥ (P).

Hướng dẫn giải

Cách 1: 

Ta giải hệ PT:  

 

Suy ra hệ PT vô nghiệm

Vậy d // (P).

Cách 2:

Mặt phẳng (P) có VTPT  .

d có VTCP  .

Ta có  

Chọn đáp án A.

3. Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:

Phương pháp giải:

Cho mặt cầu (S):(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²  tâm I (a; b; c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

+) Nếu d (I; (P)) > R thì (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.

+) Nếu d (I; (P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau. Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm.

+) Nếu d (I; (P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình:

Trong đó bán kính đường tròn  và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (2; 1; -1) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 3= 0. Mặt cầu (S) có bán kính R bằng:

Hướng dẫn giải

(S) tiếp xúc (P)

Chọn đáp án B.

4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp giải:

Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng Δ .

Để xét vị trí tương đối giữa Δ và (S) ta tính (I;Δ) rồi so sánh với bán kính R.

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 4z + 1 = 0. Số điểm chung của d và (S) là:

A.  0.

B.  1.

C.  2.

D. 3.

Hướng dẫn giải.

Ta có:

Do đó đường thẳng d đi qua M (0; 1; 2) và có VTCP

Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; -2) và bán kính R = 2.

Ta có

 

Vì d (I, d) > R nên d không cắt mặt cầu (S).

Vậy d và (S) không có điểm chung.

Chọn A.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Phương pháp giải:

Cho 2 đường thẳng:

 

Khi đó ta có 2 trường hợp:

a) Nếucùng phương vớita có: 

+) d song song d’ 

+) d trùng d’

b) Nếu  không cùng phương với  ta xét hệ phương trình:

 

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì d cắt d’

+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d và d’ chéo nhau.

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Khi đó hai đường thẳng d và d’

A. song song.

B. trùng nhau.       

C. cắt nhau.           

D. chéo nhau.

Hướng dẫn giải

d có vectơ chỉ phương là.

d’ có vectơ chỉ phương là.

Suy ra d và d’ không cùng phương.

Ta xét hệ phương trình:

. Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy d và d’ cắt nhau.

Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 6x – 9y + 12z + 40 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:

A. Song song.                             

B. Trùng nhau.

C. Cắt nhưng không vuông góc.  

D. Vuông góc.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 6x – 9y + 12z + 60 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:

A. Song song.                                                     

B. Trùng nhau.

C. Cắt nhưng không vuông góc.                         

D. Vuông góc.

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + my + 2mz – 9 = 0 và (Q): 6x – y – z – 10 = 0. Tìm m để (P) ⊥ (Q) .

A.  m = 4.           

B.  m = -4.         

C.  m = -2.         

D.  m = 2.

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z – 6 = 0 và đường thẳng . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.  d // (P). 

B. d ⊂ (P).

C. d cắt (P).

D. d ⊥ (P). 

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 4 = 0 và đường thẳng. Số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:

A.  Vô số.

B.  1.

C. Không có.

D. 2.

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng . Khi đó hai đường thẳng d và d’

A.  song song. 

B.  trùng nhau. 

C.  chéo nhau. 

D.  cắt nhau.

Câu 7: Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng và có vị trí tương đối là:

A. trùng nhau.

B.  song song.

C.  chéo nhau.

D.  cắt nhau.

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 3 = 0 và điểm I (1; 0; 2). Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. (x - 1)² + y² + (z - 2)² = 1

B. (x + 1)² + y² + (z + 2)² = 1 

C. (x + 1)² + y² + (z + 2)² = 3

D. (x - 1)² + y² + (z - 2)² = 3

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  và điểm M (4; 1; 6). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB = 6. Phương trình của mặt cầu (S) là:

A. (x - 4)² + (y - 1)² + (z - 6)² = 9

B. (x + 4)² + (y + 1)² + (z + 6)² = 18

C. (x - 4)² + (y - 1)² + (z - 6)² = 18

D. (x - 4)² + (y - 1)² + (z - 6)² = 16

Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S): x² + y² + z² - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3 có phương trình là:

A.  y – 2z = 0             

B.  y + 2z = 0             

C.  y + 3z = 0             

D.  y – 3z = 0

ĐÁP ÁN

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Các bài toán về Góc trong không gian và cách giải
• Các bài toán về Khoảng cách trong không gian và cách giải
• Bài toán Cực trị trong hình học không gian và cách giải
• Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải
• Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải

---

---

---