Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải

I. LÝ THUYẾT

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi  là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục .Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. 

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Oxz) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ

Chú ý:

2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa:

b) Tính chất: Cho ta có:

+ Tổng và hiệu của hai vectơ

+ Tích của vectơ với một số:

Hai vectơ bằng nhau: 

+ Chú ý:

+cùng phương

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa:(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ).

Chú ý: 

M ∈ (Oxy) <=> z = 0; M ∈ (Oyz) <=> x = 0; M ∈ (Oxz) <=> y = 0;

M ∈ Ox <=> y = z = 0; M ∈ Oy <=> x = z = 0; M ∈ Oz <=> x = y = 0 

b) Tính chất: Cho

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

+ Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng các định nghĩa, tính chất và các khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ bao gồm:  tọa độ của điểm, vectơ; các phép toán vectơ… để tính tổng, hiệu các vectơ, tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, tìm điểm và vectơ thỏa mãn điều kiện cho trước, …

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1; 2; 0); B (3; -1; 1) và C (1; 1; 1). Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm trong tam giác ABC ta có: 

Tọa độ trọng tâm  hay  

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, tìm toạ độ của vectơ

Hướng dẫn giải

Ta có 

Nên

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (0; 1; 2), N (7; 3; 2), P (-5; -3; 2). Tìm tọa độ điểm Q thỏa mãn

A. Q (12; 5; 2)

B. Q (-12; 5; 2)

C. Q (-12; -5; 2)

D. Q (-2; -1; 2)

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy Q (-12 ; -5 ; 2)

Chọn C.

IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm toạ độ của véctơ

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A (2; 1; -3), B (4; 2; 1), C (3; 0; 5) và G (a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P = a.b.c?

A. P = 0.      

B. P = 3. 

C. P = 5. 

D. P = 4.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơvà.Tính tọa độ vectơ

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

A. (2; 0; 0)   

B. (1; 0; 0)   

C. (3; 0; 0)   

D. (0; 2; 3) 

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oxy) 

A. N (-1; -2; -3).

B. N (1; 2; 0).        

C. N (-1; -2; 3).      

D. N (1; 2; -3).

Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm I (-5; 0; 5) là trung điểm của đoạn MN, biết M (1; -4; 7). Tìm tọa độ của điểm N.

A. N ( -10; 4; 3).    

B. N (-2; -2; 6).      

C. N (-11; -4; 3).    

D. N (-11; 4; 3).

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2), B (7; 3; 2), C (-5; -3; 2). Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn

A. D (2; -1; 2) 

B. D (-12; 5; 2)      

C. D (-12; -5; 2)     

D. D (-2; -1; 2)

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (3; 2; 1), B (1; -1; 2), C (1; 2; -1). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn

A. M (-2; 6; -4)      

B. M (2; -6; 4)

C. M (-2; -6; 4)      

D. M (5; 5; 0)

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơTìm tọa độ của véc tơ

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có M (2; 0; 0), N (0; -3; 0), P (0; 0; -4). Tìm tọa độ điểm Q.

A. Q (-2; -3; -4)     

B. Q (2; 3; -4)        

C. Q (-2; -3; 4)       

D. Q (4; 4; 2)

ĐÁP ÁN

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Tọa độ điểm, tọa độ vectơ và cách giải
• Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải
• Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải
• Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập
• Phương trình mặt cầu và cách giải

---

---

---