Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải

I. LÝ THUYẾT

1. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ  và  được xác định bởi công thức:

b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ , khi đó độ dài của vectơ  được tính theo công thức:

+ Cho hai điểm. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ. Do đó ta có

+ Cho vectơ. Khi đó góc giữa hai vectơ  và  được tính theo công thức:

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ . Khi đó: 

2. Tích có hướng của hai vectơ

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ . Tích có hướng của hai vectơkí hiệu là , được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất của tích có hướng:

+ Độ dài của vectơ tích có hướng

+ Hai vectơ cùng phương

+ Ba vectơ đồng phẳng khi

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơkhông đồng phẳng hay và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi

3. Ứng dụng của tích có hướng:

Ta sử dụng tích có hướng để tính:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:

+) Diện tích tam giác ABC:

+) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

+) Thể tích tứ diện ABCD:

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Phương pháp giải: Cho hai vectơkhi đó:

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho.Khi đó  bằng

A. 10

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ  , khi đó độ dài của vectơđược tính theo công thức:

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ. Độ dài vectơ là

A. 

B. 

C. 21

D. 7

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơlà

Chọn A.

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải: Cho hai điểm A (x_A;y_A;z_A) và B (x_B;y_B;z_B). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ. Do đó ta có

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho . Tọa độ của điểm M là

A. M (0; 0; 3).

B. M (0; 0; 2).

C. M (0; 0; -3).

D. M (0; 3; 0).

Hướng dẫn giải

Do M ∈ Oz => M (0; 0; m)

. Mặt khácnên:

Suy ra M (0; 0; 3). 

Chọn A.

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ . Khi đó góc giữa hai vectơđược tính theo công thức:

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ.

A. 45⁰

B. 60⁰

C. 90⁰

D. 135⁰

Hướng dẫn giải

Gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ  .

Ta có:. Khi đó: 

=> φ = 45⁰

Chọn A.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Phương pháp giải: Cho vectơ. Khi đó: 

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Hướng dẫn giải

Ta kiểm tra lần lượt từng đáp án:

. Suy rakhông vuông góc với. Do đó A sai. 

Có thể kiểm tra thêm 3 đáp án còn lại:

. Do đó B đúng.

. Suy ra . Do đó C đúng.

. Do đó D đúng.

Chọn A.

2. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp giải: Cho hai vectơ , khi đó:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho. Khi đó có tọa độ bằng

A. (8;-12;5)

B. (8;-12;0)

C. (0;8;12)

D. (0;8;-12)

Hướng dẫn giải

Chọn B. 

Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng 

Phương pháp giải: đồng phẳng

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ . Giá trị của m để  đồng phẳng là

Hướng dẫn giải

Ta có 

Để  đồng phẳng thì

Chọn A.

Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:

+) Diện tích tam giác ABC:

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2). Diện tích tam giác ABC bằng

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:

+) Thể tích tứ diện :

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

Hướng dẫn giải

Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; -1). Độ dài của đoạn thẳng AB là

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ  và . Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ. Tính .

A. P = -10 

B. P = -40

C. P = 16

D. P = -34

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ . Tính.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho . Khi đó  có tọa độ bằng

A. (0 ; 0 ; 0).

B. (1 ; 1 ; 1).

C. (2 ; 8 ; 2).

D. (1 ; -2 ; 1).

Câu 6: Cho bốn véc tơ Chọn mệnh đề đúng.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là

A. V = 1.                   

B. V = 4.                   

C. V = 5.                   

D. V = 6.

Câu 10: Cho ba vectơ. Chọn mệnh đề đúng:

A. Ba vectơ đồng phẳng.

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ cùng phương.

D..

ĐÁP ÁN

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	D	B	A	B	A	C	D	A	C	A

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;-10;-2\right)$; $\overrightarrow{b}=\left(7;4;-4\right)$. Tính tọa độ $\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]$.

Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(0;-1;-5\right)$; $\overrightarrow{b}=\left(3;8;-6\right)$. Tính tọa độ $\left[\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right]$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (5; –6; 1), B (–6; 2; –4) và C (10; 2; –7). Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (–4; 1; 10), B (–5; –7; 0), C (–8; 8; 2), D (–8; –6; 10). Tính thể tích của tứ diện ABCD.

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (3; 4; 10), B (10; 7; –6) và C (–5; –10; 3). Tính diện tích tam giác ABC.

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải
• Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập
• Phương trình mặt cầu và cách giải
• Các bài toán về Vị trí tương đối trong không gian và cách giải
• Các bài toán về Góc trong không gian và cách giải

---

---

---