Tích phân của các hàm số cơ bản lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tích phân của các hàm số cơ bản lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tích phân của các hàm số cơ bản.

Tích phân của các hàm số cơ bản lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Sử dụng công thức $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b$ = F(b) - F(a).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau đây:

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}3x^{2}dx$;

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin xdx$.

Hướng dẫn giải:

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}3x^{2}dx={\left.x^3\right|}_0^3=3^3-0^3=27$.

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_0^{\frac{\pi }{3}}=-\cos \frac{\pi }{3}+\cos 0=\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau đây

a) $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{7}{3x}dx$;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({2.3}^x-5.e^x\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

a) $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{7}{3x}dx={\left.\frac{7}{3}\ln \left|x\right|\right|}_1^e=\frac{7}{3}\ln e-\frac{7}{3}\ln 1=\frac{7}{3}$.

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({2.3}^x-5.e^x\right)dx$ = ${\left.\left(\frac{{2.3}^x}{\ln 3}-5e^x\right)\right|}_0^1$ = $\left(\frac{6}{\ln 3}-5e\right)-\left(\frac{2}{\ln 3}-5\right)$ = $\frac{4}{\ln 3}-5e+5$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Kết quả tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^{x}dx$ bằng

A. $I=\frac{4}{\ln 5}$;

B. I = 4ln5;

C. I = 5ln5;

D. $I=\frac{5}{\ln 5}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{5}^{x}dx={\left.\frac{5^x}{\ln 5}\right|}_0^1=\frac{5}{\ln 5}-\frac{1}{\ln 5}=\frac{4}{\ln 5}$.

Bài 2. Tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x+2}dx$ bằng

A. −ln3;

B. ln3;

C. 1 – ln3;

D. ln3 – ln2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x+2}dx={\left.\ln \left|x+2\right|\right|}_0^1=\ln 3-\ln 2$.

Bài 3. Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{3x}dx$ bằng

A. $e^3+\frac{1}{2}$;

B. e – 1;

C. $\frac{e^3-1}{3}$;

D. e³ – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{3x}dx={\left.\frac{1}{3}{e}^{3x}\right|}_0^1=\frac{e^3-1}{3}$.

Bài 4. Cho biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(4-\sin x\right)dx=a\pi +b$ với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a + b bằng

A. 1;

B. –4;

C. 6;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(4-\sin x\right)dx={\left.\left(4x+\cos x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}=2\pi -1$.

Suy ra a = 2; b = −1. Vậy a + b = 1.

Bài 5. Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x+1\right)\left(x+3\right)dx$ bằng

A. 12;

B. 9;

C. 5;

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x+1\right)\left(x+3\right)dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x^2+10x+3\right)dx$ = ${\left.\left(x^3+5x^2+3x\right)\right|}_0^1=9$.

Bài 6. Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$.

A. $I=\frac{1}{e}$;

B. $I=\frac{1}{e}+1$;

C. I = 1;

D. I = e.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx={\left.\left(\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}\right)\right|}_1^e=\frac{1}{e}$.

Bài 7. Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x}{2^x}dx=\frac{\frac{e}{a}+b}{1-\ln a}$ (a, b ∈ ℝ). Khi đó giá trị của P = a + b là

A. −3;

B. 1;

C. −1;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x}{2^x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{e}{2}\right)}^{x}dx={\left.\left(\frac{{\left(\frac{e}{2}\right)}^x}{\ln \frac{e}{2}}\right)\right|}_0^1=\frac{\frac{e}{2}-1}{1-\ln 2}$. Suy ra a = 2; b = −1.

Do đó a + b = 1.

Bài 8. Biết $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}3{\tan }^{2}xdx=a\sqrt{3}+b+\frac{\pi }{c}$ (a, b, c ∈ ℝ). Khi đó giá trị của P = a + b + c là

A. 6;

B. −4;

C. 4;

D. −6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}3{\tan }^{2}xdx=3\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx$ = ${\left.3\left(\tan x-x\right)\right|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=3\sqrt{3}-3-\frac{\pi }{4}$.

Do đó P = a + b + c = −4.

Bài 9. Biết $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx=\frac{a\sqrt{3}}{b}$ (a, b ∈ ℤ). Tính $P=\frac{a-2b}{b}$.

A. $P=\frac{4}{3}$;

B. $P=-\frac{4}{3}$;

C. $P=-\frac{2}{3}$;

D. $P=\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx$ = $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

= ${\left.\left(\tan x-\cot x\right)\right|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Do đó $P=\frac{2-2.3}{3}=-\frac{4}{3}$.

Bài 10. Tính tích phân $\underset{-4}{\overset{2}{\int }}\left(4x^2-7x-2\right)dx$.

A. 126;

B. $-\frac{9}{2}$;

C. $-\frac{3}{2}$;

D. -210.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{-4}{\overset{2}{\int }}\left(4x^2-7x-2\right)dx={\left.\left(\frac{4x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}-2x\right)\right|}_{-4}^2$ = $-\frac{22}{3}+\frac{400}{3}=126$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức
• Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế
• Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
• Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

---