Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế.

Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt kiến thức về tích phân vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t². Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Hướng dẫn giải:

Ta có $v\left(t\right)=\int \left(3t+t^2\right)dt=\frac{3t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+C$.

Ta có v(0) = 10 ⇒ C = 10.

Khi đó $v\left(t\right)=\frac{3t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+10$.

Quãng đường vật đi được sau 10 giây kể từ lúc tăng tốc là:

s = $\underset{0}{\overset{10}{\int }}\left(\frac{t^3}{3}+\frac{3t^2}{2}+10\right)dt$ = ${\left.\left(\frac{t^4}{12}+\frac{t^3}{2}+10t\right)\right|}_0^{10}=\frac{4300}{3}$ m.

Ví dụ 2. Cường độ dòng điện chạy trong cuộn dây là I = 2sint (A). Tính điện lượng phóng ra trong cuộn dây khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm $t=\frac{\pi }{2}$ (s).

Hướng dẫn giải:

Điện lượng phóng ra trong cuộn dây là

Q(t) = $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}I\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}2\sin tdt={\left.-2\cos t\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}$ = $-2\left(\cos \frac{\pi }{2}-\cos 0\right)$ = 2.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Vận tốc của một vật chuyển động là v(t) = 3t² + 5 (m/s). Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

A. 669 m;

B. 696 m;

C. 699 m;

D. 966 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Quãng đường vật đó đi được từ giấy thứ 4 đến giây thứ 10 là $\underset{4}{\overset{10}{\int }}\left(3t^2+5\right)dt=966$ m.

Bài 2. Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = 2cost (m/s²), biết rằng tại thời điểm bắt đầu chuyển động, vật có vận tốc bằng 0. Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm t = π (s).

A. 5 m;

B. 3 m;

C. 2 m;

D. 4 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có $v\left(t\right)=\int 2\cos tdt=2\sin t+C$.

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 2sint.

Quãng đường vật đi được là $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}2\sin tdt={\left.-2\cos t\right|}_0^{\pi }=4$.

Bài 3. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 24 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật v(t) = −4t + 24 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng

A. 42 m;

B. 64 m;

C. 72 m;

D. 50 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khi xe dừng hẳn ta có v(t) = 0 ⇔ −4t + 24 = 0 ⇔ t = 6 (giây).

Ta có quãng đường ô tô đi được là $s=\underset{0}{\overset{6}{\int }}\left(-4t+24\right)dt=72$ m.

Bài 4. Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật và có gia tốc a = 0,3 m/s². Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

A. 12000 m;

B. 240 m;

C. 864000 m;

D. 3200 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đổi 40 phút = 2400 giây.

Ta có v(t) = $\int \mathrm{0,3}dt=\mathrm{0,3}t+C$.

Do v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 0,3t.

Quãng đường đi được trong 40 phút đầu tiên là s =  $\underset{0}{\overset{2400}{\int }}\mathrm{0,3}tdt$ = 864000 m.

Bài 5. Giả sử tốc độ v (m/s) của một thang máy di chuyển từ tầng 1 lên tầng cao nhất theo thời gian t giây được cho bởi $v\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}tkhi0\le t\le 2\\ 2khi2<t\le 20\\ 12-\mathrm{0,5}tkhi20<t\le 24\end{array}\right.$. Tính quãng đường chuyển động của thang máy.

A. 58 m;

B. 56 m;

C. 42 m;

D. 45 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có s = $\underset{0}{\overset{24}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}tdt+\underset{2}{\overset{20}{\int }}2dt+\underset{20}{\overset{24}{\int }}\left(12-\mathrm{0,5}t\right)dt$

= ${\left.\frac{t^2}{2}\right|}_0^2+{\left.2t\right|}_2^{20}+{\left.\left(12t-\frac{t^2}{4}\right)\right|}_{20}^{24}$ = 2 + 36 + 4 = 42.

Bài 6. Cho hai quả bóng A, B di chuyển ngược chiều nhau va chạm với nhau. Sau va chạm mỗi quả bóng nảy ngược lại một đoạn thì dừng hẳn. Biết sau khi va chạm, quả bóng A nảy ngược lại với vận tốc v_A(t) = 8 – 2t (m/s) và quả bóng B nảy ngược lại với vận tốc v_B(t) = 12 – 4t (m/s). Tính khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi đã dừng hẳn (giả sử hai quả bóng đều chuyển động thẳng).

A. 36 m;

B. 32 m;

C. 34 m;

D. 30 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

8 – 2t = 0 ⇔ t = 4 giây.

Quãng đường quả bóng A di chuyển là $s_A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(8-2t\right)dt=16$ m.

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

12 – 4t = 0 ⇔ t = 3 giây.

Quãng đường quả bóng B di chuyển là $s_B=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(12-4t\right)dt=18m$.

Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = s_A + s_B = 34 m.

Bài 7. Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc v(t) = t² + 10t (m/s) với t là thời gian tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc 200 m/s thì nó rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

A. $\frac{2500}{3}$ m;

B. 2000 m;

C. 500 m;

D. $\frac{4000}{3}$ m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét v(t) = 200 ⇔ t² + 10t – 200 = 0 ⇔ t = 10 hoặc t = −20.

Vậy thời gian máy bay đạt vận tốc 200 m/s là thời điểm t = 10 s sau khi bắt đầu chuyển động.

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

s = $\underset{0}{\overset{10}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{10}{\int }}\left(t^2+10t\right)dt=\frac{2500}{3}$.

Bài 8. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0004x + 9,3. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là

A. 232,325 triệu đồng;

B. 230,315 triệu đồng;

C. 321,385 triệu đồng;

D. 231,375 triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Sự thay đổi của lợi nhuận là $\underset{100}{\overset{125}{\int }}{P}^{\text{'}}\left(x\right)dx$ = $\underset{100}{\overset{125}{\int }}\left(-\mathrm{0,0004}x+\mathrm{9,3}\right)dx$ = ${\left.\left(-\mathrm{0,0002}{x}^2+\mathrm{9,3}x\right)\right|}_{100}^{125}=\mathrm{231,375}$ triệu đồng.

Bài 9. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (giờ) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A. s = 25,25 km;

B. s = 24,25 km;

C. s = 24,75 km;

D. s = 26,75 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi v(t) = at² + bt + c.

Đồ thị v(t) là một phần parabol có đỉnh I(2; 9) và đi qua điểm A(0; 6) nên $\left\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=2\\ a{.2}^2+b.2+c=9\\ a{.0}^2+b.0+c=6\end{array}\right.$ => $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{-3}{4}\\ b=3\\ c=6\end{array}\right.$. Tìm được v(t) = $\frac{3}{4}{t}^2+3t+6$

Vậy S = $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-\frac{3}{4}{t}^2+3t+6\right)dt$ = 24,75 (km).

Bài 10. Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72 km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72 km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 – 2t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72 km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?

A. 100 m;

B. 150 m;

C. 175 m;

D. 125 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Thời điểm t ô tô đạt tốc độ 72 km/h (tức 20 m/s) là nghiệm của 30 – 2t = 20 ⇔ t = 5.

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 5 giây là

s = $\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(30-2t\right)dt$ = 125 m.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức
• Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
• Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

---