Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể.

Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi ẞ là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích V của phần vật thể ẞ được tính bởi công thức $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

• Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ∈ [a; b] được một hình tròn có bán kính f(x).

Thể tích của khối tròn xoay này là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 ≤ x ≤ 3) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và x².

Hướng dẫn giải:

Ta có diện tích thiết diện S(x) = 3x.x² = 3x³.

Khi đó $V=\underset{1}{\overset{3}{\int }}3x^{3}dx={\left.\frac{3}{4}{x}^4\right|}_1^3=60$.

Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{\tan x}$, trục hoành và các đường thẳng x = 0, $x=\frac{\pi }{4}$ quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\tan xdx=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\sin x}{\cos x}dx$ = ${\left.-\pi \ln \left|\cos x\right|\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi \ln 2}{2}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = x² + 1, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

A. V = 12π;

B. $V=\frac{348\pi }{5}$;

C. V = 32π;

D. V = 9π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có $V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(x^2+1\right)}^{2}dx=\frac{348\pi }{5}$.

Bài 2. Cho vật thể (T) được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = −2; x = 2. Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, x ∈ [−2; 2] là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{4-x^2}$. Thể tích của vật thể (T) bằng

A. V = π;

B. $V=\frac{32}{3}$;

C. $V=\frac{32\pi }{3}$;

D. $\frac{8}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thể tích của vật thể là V = $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{2}dx$ = $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$ = ${\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-2}^2=\frac{32}{3}$.

Bài 3. Tính thể tích V của một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một ta giác đều cạnh $2\sqrt{\sin x}$.

A. V = $2\pi \sqrt{3}$;

B. V = 3;

C. V = $2\sqrt{3}$;

D. 3π.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có V = $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(2\sqrt{\sin x}\right)}^{2}dx$ = $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sqrt{3}\sin xdx={\left.-\sqrt{3}\cos x\right|}_0^{\pi }=2\sqrt{3}$.

Bài 4. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x bất kì (1 ≤ x ≤ 4) thì được thiết diện là một nửa lục giác đều có độ dài cạnh là 2x.

A. V = $21\sqrt{3}$;

B. V = 21;

C. V = $63\sqrt{3}$;

D. 63.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Diện tích thiết diện $S\left(x\right)=3.\frac{{\left(2x\right)}^2\sqrt{3}}{4}=3x^2\sqrt{3}$.

Do đó thể tích vật thể $V=\underset{1}{\overset{4}{\int }}3x^2\sqrt{3}dx={\left.\sqrt{3}{x}^3\right|}_1^4=63\sqrt{3}$.

Bài 5. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^3x, y = 0, x = 0 và x = 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox bằng

A. V = $\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{3x}dx$;

B. V = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{6x}dx$;

C. V = $\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{6x}dx$;

D. V = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{3x}dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$V=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(e^{3x}\right)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{6x}dx$.

Bài 6. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = x² – 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là

A. $\frac{496\pi }{15}$;

B. $\frac{32\pi }{15}$;

C. $\frac{4\pi }{3}$;

D. $\frac{16\pi }{15}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có x² – 2x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Thể tích V = $\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x^2-2x\right)}^{2}dx$ = $\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-4x^3+4x^2\right)dx$.

Bài 7. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x² + 6; y = 0; x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.

A. $\frac{552\pi }{5}$;

B. $\frac{44}{3}$;

C. $\frac{552}{5}$;

D. $\frac{44\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(x^2+6\right)}^{2}dx=\frac{552\pi }{5}$.

Bài 8. Xét trong không gian Oxyz, tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là $2\sqrt{1-x^2}$.

A. $\frac{16}{3}$;

B. $\frac{16\pi }{3}$;

C. $\frac{14}{3}$;

D. $\frac{14\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $V=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^{2}dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4\left(1-x^2\right)dx$ = ${\left.\left(4x-\frac{4}{3}{x}^3\right)\right|}_{-1}^1=\frac{16}{3}$.

Bài 9. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x-1}$, trục hoành, x = 2 và x = 5 quanh trục Ox bằng

A. $\frac{14\pi }{3}$;

B. $\frac{14}{3}$;

C. $\frac{15\pi }{2}$;

D. $\frac{15}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $V=\pi \underset{2}{\overset{5}{\int }}{\left(\sqrt{x-1}\right)}^{2}dx=\pi \underset{2}{\overset{5}{\int }}\left(x-1\right)dx=\frac{15\pi }{2}$.

Bài 10. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}.e^{x^2}$, trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục hoành

A. $V=\frac{1}{4}\pi \left(e^2-1\right)$;

B. $V=\pi \left(e^2-1\right)$;

C. $V=\frac{1}{4}\pi e^2-1$;

D. V = e² – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\sqrt{x}.e^{x^2}=0\iff x=0$.

Thể tích cần tính là V = $\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\sqrt{x}{e}^{x^2}\right)}^{2}dx$ = $\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{2x^2}dx$ = ${\left.\frac{\pi }{4}{e}^{2x^2}\right|}_0^1=\frac{\pi }{4}\left(e^2-1\right)$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức
• Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế
• Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

---