Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

+) Cho f(x) = 0 tìm nghiệm thuộc [a; b].

+) Xét dấu f(x) trên [a; b].

+) Áp dụng công thức phá dấu giá trị tuyệt đối để phá giá trị tuyệt đối trong tích phân.

+) Tính mỗi tích phân thành phần.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau đây

a) $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-1\right|dx$;

b) $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-3x-2\right|dx$.

Hướng dẫn giải:

Xét f(x) = x² – 1 trên đoạn [−2; 2].

Cho f(x) = 0 ⇔ x² – 1 = 0 ⇔ x = −1 ∈ [−2; 2] hoặc x = 1 ∈ [−2; 2].

Bảng xét dấu:

Do đó $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-1\right|dx$ = $\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left(x^2-1\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(1-x^2\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-1\right)dx$

= ${\left.\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\right|}_{-2}^{-1}-{\left.\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\right|}_{-1}^1+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\right|}_1^2$ = 4.

b) Xét f(x) = x³ – 3x − 2 trên [−1; 2].

Cho f(x) = 0 ⇔ x³ – 3x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ∈ [−1; 2] hoặc x = −1 ∈ [−1; 2].

Bảng xét dấu

Do đó $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-3x-2\right|dx$ = $-\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-3x-2\right)dx=-{\left.\left(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{2}{x}^2-2x\right)\right|}_{-1}^2=\frac{27}{4}$.

Ví dụ 2. Tính tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\sqrt{x^3-2x^2+x}dx$.

Hướng dẫn giải:

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\sqrt{x^3-2x^2+x}dx$ = $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\sqrt{x\left(x^2-2x+1\right)}dx$ = $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x-1\right|\sqrt{x}dx$

= $=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)\sqrt{x}dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x-1\right)\sqrt{x}dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}\right)dx$

= ${\left.\left(\frac{2}{3}x\sqrt{x}-\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right)\right|}_1^3$

= $\frac{24\sqrt{3}+8}{15}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$ bằng

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$

= $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$

= ${\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2=1$.

Bài 2. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-3x+2\right|dx$ bằng

A. 4;

B. 3;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-3x+2\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-3x+2\right)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-3x+2\right)dx$

= ${\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\right|}_0^1-{\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\right|}_1^2$

= $\frac{5}{6}-\left(-\frac{1}{6}\right)=1$.

Bài 3. Tính tích phân $I=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{3\pi }{4}}{\int }}\left|\sin 2x\right|dx$ bằng

A. 0;

B. 3;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

+) $\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2}\iff \frac{\pi }{2}\le 2x\le \pi \Rightarrow \sin 2x\ge 0$.

+) $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{4}\iff \pi \le 2x\le \frac{3\pi }{2}\Rightarrow \sin 2x\le 0$.

Khi đó $I=\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{3\pi }{4}}{\int }}\left|\sin 2x\right|dx$ = $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin 2xdx-\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{3\pi }{4}}{\int }}\sin 2xdx$ = ${\left.-\frac{1}{2}\cos 2x\right|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}+{\left.\frac{1}{2}\cos 2x\right|}_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{4}}=1$.

Bài 4. Tính tích phân $I=\underset{-1}{\overset{a}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$ ta được kết quả $I=\frac{11}{6}$. Khi đó

A. a = 1;

B. a = 2;

C. a = 3;

D. a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Từ đáp án ta thấy a ≥ 1.

$I=\underset{-1}{\overset{a}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$ = $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^2-x\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-x\right)dx+\underset{1}{\overset{a}{\int }}\left(x^2-x\right)dx$

= ${\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_{-1}^0-{\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^a$

= $\frac{7}{6}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^2}{2}$.

Theo đề có $\frac{7}{6}+\frac{a^3}{3}-\frac{a^2}{2}=\frac{11}{6}$ ⇔ 2a³ – 3a² – 4 = 0 ⇔ (a − 2)(2a² + a + 2) = 0 ⇔ a = 2.

Bài 5. Tính tích phân $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|x^3+x^2-x-1\right|dx$ ta được kết quả $I=\frac{a}{b}$, khi đó tổng a + b là:

A. 7;

B. 3;

C. 5;

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do x³ + x² – x – 1 = (x – 1)(x + 1)² ≤ 0, ∀x ∈ [−1; 1].

Khi đó $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|x^3+x^2-x-1\right|dx$ = $-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x^3+x^2-x-1\right)dx$ = $-{\left.\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_{-1}^1=\frac{4}{3}$.

Suy ra a = 4; b = 3. Do đó a + b = 7.

Bài 6. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\right|$;

B. $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left|x\right|}^{3}dx=\left|\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx\right|$;

C. $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|e^x\left(x+1\right)\right|dx=\left|\underset{-2}{\overset{3}{\int }}{e}^x\left(x+1\right)dx\right|$;

D. $\underset{-1}{\overset{2018}{\int }}\left|x^4+x^2+1\right|dx=\underset{-1}{\overset{2018}{\int }}\left(x^4+x^2+1\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì x⁴ + x² + 1 ≥ 0, ∀x ∈ [−1; 2018] => $\underset{-1}{\overset{2018}{\int }}\left|x^4+x^2+1\right|dx$ = $\underset{-1}{\overset{2018}{\int }}\left(x^4+x^2+1\right)dx$.

Bài 7. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-2\right|dx$ bằng

A. $\frac{1}{2}$;

B. 1;

C. $\frac{3}{2}$;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do x – 2 < 0, ∀x ∈ [0; 1].

Khi đó $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-2\right|dx=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x-2\right)dx=-{\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\right|}_0^1=\frac{3}{2}$.

Bài 8. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{x^2-2x+1}dx$.

A. $\frac{1}{2}$;

B. 2;

C. $\frac{5}{2}$;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{x^2-2x+1}dx$ = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$ = ${\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2=1$.

Bài 9. Tính tích phân $\underset{0}{\overset{8}{\int }}\left|x^2-6x\right|dx$.

A. $\frac{152}{3}$;

B. $\frac{64}{3}$;

C. $\frac{-64}{3}$;

D. $\frac{-152}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{0}{\overset{8}{\int }}\left|x^2-6x\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{6}{\int }}\left|x^2-6x\right|dx+\underset{6}{\overset{8}{\int }}\left|x^2-6x\right|dx$

= $\underset{0}{\overset{6}{\int }}\left(-x^2+6x\right)dx+\underset{6}{\overset{8}{\int }}\left(x^2-6x\right)dx$

= ${\left.\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{6x^2}{2}\right)\right|}_0^6+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}\right)\right|}_6^8=\frac{152}{3}$

Bài 10. Tính $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2x-2\right|dx$.

A. 0;

B. 2;

C. 1;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2x-2\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2-2x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2x-2\right)dx$ = ${\left.\left(2x-x^2\right)\right|}_0^1+{\left.\left(x^2-2x\right)\right|}_1^2=2$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức
• Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế
• Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
• Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

---