Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức.

Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Dạng 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)khix\le b\\ h\left(x\right)khix>b\end{array}\right.$ liên tục trên D. Tính $J=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx$. Xét b ∈ [a; c].

+) Kiểm tra hàm số f(x) có liên tục tại x = b?

Tức là kiểm tra $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to b^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

+) $J=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}h\left(x\right)dx$.

Dạng 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}g\left(x;m\right)khix\le b\\ h\left(x;m\right)khix>b\end{array}\right.$ liên tục trên D. Tính $J=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx$. Xét b ∈ [a; c].

+) Kiểm tra hàm số f(x) có liên tục tại x = b?

Tức là kiểm tra $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to b^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

+) $J=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x;m\right)dx+\underset{b}{\overset{c}{\int }}h\left(x;m\right)dx$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1khix\ge 2\\ x^2-2x+3khix<2\end{array}\right.$. Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2-1\right)=3\\ \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2-2x+3\right)=3\end{array}\right.$ và f(2) = 3.

Do đó hàm số đã cho liên tục tại x = 2.

Ta có $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x+3\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-1\right)dx$

= ${\left.\left(\frac{x^3}{3}-x^2+3x\right)\right|}_1^2+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\right|}_2^3=\frac{23}{3}$.

Ví dụ 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,5}xkhi0\le x<2\\ 1khi2\le x<15\\ 4-\mathrm{0,2}xkhi15\le x\le 20\end{array}\right.$. Tính $\underset{0}{\overset{20}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\mathrm{0,5}x=1=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)$ và $\underset{x\to {15}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1=\underset{x\to {15}^{+}}{\lim }\left(4-\mathrm{0,2}x\right)=f\left(15\right)$ nên hàm số liên tục trên đoạn [0; 20].

Do đó $\underset{0}{\overset{20}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{15}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{15}{\overset{20}{\int }}f\left(x\right)dx$

= $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{0,5}xdx+\underset{2}{\overset{15}{\int }}1dx+\underset{15}{\overset{20}{\int }}\left(4-\mathrm{0,2}x\right)dx$

= ${\left.\frac{x^2}{4}\right|}_0^2+{\left.x\right|}_2^{15}+{\left.\left(4x-\frac{x^2}{10}\right)\right|}_{15}^{20}$

= $1+13+\frac{5}{2}=\frac{33}{2}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1khix\ge 1\\ 2x-1khix<1\end{array}\right.$. Tính $I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$.

A. −1;

B. $\frac{1}{2}$;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }1=1\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=1\end{array}\right.$ và f(1) = 1.

Do đó hàm số đã cho liên tục tại x = 1.

$I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

= $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(2x-1\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}1dx$

= ${\left.\left(x^2-x\right)\right|}_{-1}^1+{\left.x\right|}_1^2$

= -2 + 1 = -1.

Bài 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+1khix\ge 0\\ e^{2x}khix<0\end{array}\right.$. Tích phân $I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $I=\frac{3e^2-1}{e^2}$;

B. $I=\frac{9e^2-1}{2e^2}$;

C. $I=\frac{11e^2-11}{2e^2}$;

D. $I=\frac{7e^2+1}{2e^2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

= $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{e}^{2x}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x+1\right)dx$

= $={\left.\frac{e^{2x}}{2}\right|}_{-1}^0+{\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|}_0^2$

= $=\frac{9}{2}-\frac{1}{2e^2}=\frac{9e^2-1}{2e^2}$.

Bài 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x^{2}khi0\le x\le 1\\ 4-xkhi1\le x\le 2\end{array}\right.$. Tính tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$.

A. $\frac{7}{2}$;

B. 1;

C. $\frac{5}{2}$;

D. $\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^{2}dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(4-x\right)dx$

= ${\left.x^3\right|}_0^1+{\left.\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^2=\frac{7}{2}$.

Bài 4. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+2khi-3\le x\le -1\\ x^{2}khix\ge -1\end{array}\right.$. Tính $\underset{-3}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

A. $\frac{31}{3}$;

B. $\frac{28}{3}$;

C. $\frac{22}{3}$;

D. $\frac{26}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\underset{-3}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left(x+2\right)dx+\underset{-1}{\overset{3}{\int }}{x}^{2}dx$ = $0+\frac{28}{3}=\frac{28}{3}$.

Bài 5. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x^2-xkhix<0\\ \sin xkhix\ge 0\end{array}\right.$. Tính tích phân $\underset{-1}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx$.

A. $\frac{13}{6}$;

B. $\frac{5}{6}$;

C. $-\frac{5}{6}$;

D. $\frac{19}{6}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\underset{-1}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}f\left(x\right)dx$

= $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(2x^2-x\right)dx+\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx$ = $\frac{7}{6}+2=\frac{19}{6}$.

Bài 6. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x+akhix\ge 1\\ 3x^2+bkhix<1\end{array}\right.$ thỏa mãn $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=13$. Tính T = a + b – ab.

A. T = −11;

B. T = −5;

C. T = 1;

D. T = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(3x^2+b\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(2x+a\right)=f\left(1\right)$ ⇔ 3 + b = 2 ⇔ a - b = 1 (1).

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=13$ ⇔ $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(3x^2+b\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2x+a\right)dx=13$

⇔ ${\left.\left(x^3+bx\right)\right|}_0^1+{\left.\left(x^2+ax\right)\right|}_1^2=13$ ⇔ (1 + b) + 3 + a = 13 ⇔ a + b = 9 (2).

Từ (1) và (2), ta có a = 5; b = 4.

Do đó T = 5 + 4 – 5.4 = −11.

Bài 7. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x+1}khi0\le x\le 1\\ 2x-1khi1\le x\le 3\end{array}\right.$. Tính tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

A. 6 + ln4;

B. 4 + ln4;

C. 6 + ln2;

D. 2 + 2ln2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2}{x+1}dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(2x-1\right)dx$

= ${\left.2\ln \left|x+1\right|\right|}_0^1+{\left.\left(x^2-x\right)\right|}_1^3$ = 2 ln2 + 6 = 6 + ln4.

Bài 8. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1khix\ge 1\\ 2xkhix<1\end{array}\right.$. Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

A. $\frac{5}{2}$;

B. $\frac{5}{3}$;

C. 3;

D. $\frac{13}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}2xdx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+1\right)dx=\frac{13}{3}$.

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) có nguyên hàm trên ℝ là $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+5x+C_{1}khix\ge 1\\ x^3+4x+C_{2}khix<1\end{array}\right.$. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$.

A. 14;

B. 13;

C. 15;

D. 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì hàm số F(x) liên tục tại x = 1

⇒ $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }F\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }F\left(x\right)=F\left(1\right)$ ⇒ 1² + 5.1 + C₁ = 1³ + 4.1 + C₂ ⇒ C₁ – C₂ = −1.

Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)$

⇔ (2² + 5.2 + C₁) – (0³ + 4.0 + C₂) = 14 + C₁ – C₂ = 14 – 1 = 13.

Bài 10. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3-2xkhix\ge 1\\ 3x^2+2x-4khix<1\end{array}\right.$. Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn F(2) = 4. Giá trị của F(−2) – 4F(3) bằng

A. 16;

B. 8;

C. 18;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x-x^2+C_{1}khix\ge 1\\ x^3+x^2-4x+C_{2}khix<1\end{array}\right.$.

Vì F(2) = 4 ⇒ C₁ = 2. Do đó $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x-x^2+2khix\ge 1\\ x^3+x^2-4x+C_{2}khix<1\end{array}\right.$.

Vì hàm số liên tục trên ℝ nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }F\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }F\left(x\right)=F\left(1\right)$

⇔ $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(3x-x^2+2\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^3+x^2-4x+C_2\right)$ ⇔ C₂ = 6.

Do đó $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x-x^2+2khix\ge 1\\ x^3+x^2-4x+6khix<1\end{array}\right.$.

Vậy F(−2) – 4F(3) = 10 – 4.2 = 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế
• Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
• Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

---