Tích phân của hàm lượng giác và phân thức và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Tích phân của hàm lượng giác và phân thức và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Tích phân của hàm lượng giác và phân thức và cách giải

A. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ

Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản.

1. Một số công thức cần thiết.

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai

2. Các dạng toán thường gặp, công thức giải nhanh và ví dụ minh hoạ.

2.1. Dạng 1: Tích phân dạng .

Phương pháp giải:

Biến đổi

Ví dụ 1. Cho, với a,b,c ∈ R ; c ≠ 0. Đặt S = a + b + c, lúc này S có giá trị bằng

Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có:

Chọn D. 

2.2. Dạng 2: Tính tích phân .

Phương pháp giải

Cách 1:

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)

* Nếu mẫu số có nghiệm kép x = x₀  tức là ax² + bx + c = a(x - x₀)² ta giả sử

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm  A; B.

Sau khi tìm được A; B thì ta có .

* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x₁;x₂: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂) thì ta giả sử:

Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.

Sau khi tìm được A; B ta có .

Ví dụ 2. Cho ,a;b ∈ Z thì a + 2b có giá trị bằng:

A. ‒35                  B. ‒2

C. 2                      D. 3

Chọn D.

Lời giải

Cách 1: Ta có:

Do đó: a = - 7; b = 5 => a + 2b = 3

Cách 2: Ta thấy .

Giả sử

Đồng nhất hệ số ta có

Áp dụng công thức ta có

Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).

Ta thấy .

1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.

2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.

Ta thấy chỉ có trường hợp X = 5;F(X) = -7 là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận a = -7; b = 5 => a + 2b = 3

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Tích phân  có giá trị bằng

Câu 2. Với 0 < a < 1, giá trị của tích phân sau  là:

Câu 3. Giá trị của tích phân gần nhất với gái trị nào sau đây?

Câu 4. Tích phân . Giá trị của a là:

Câu 5. Cho . Giá trị a + b là:

Câu 6.  Tính:

Câu 7. Tính:

Câu 8. Tính 

Câu 9.  Tính:

A. K = 1                       B. K = 2

C. K = -2                     D. Đáp án khác.

Câu 10. Biết với a, b, c là các số hữu tỉ, tính S = 2a + b² + c²  

A. S = 515

B. S = 164

C. S = 436 

D. S = -9

Câu 11. Biết  với a, b, c nguyên. Tính T = a + b + c.

A. T = 4.                  B. T = 2.

C. T = 1.                  D. T = 3.

Câu 12. Tính tích phân 

A. 5ln2 - 3ln2

B. 5ln2 + 2ln3

C. 5ln2 - 2ln3

D. 2ln5 - 2ln3

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
B	B	A	D	B	D	B	B	D	A	C	C

B. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Một số công thức và kĩ năng biến đổi.

2. Các dạng toán hay gặp và cách giải.

2.1. Dạng 1: Tính tích phân:

1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.

2. Nếu n = 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.

3. Nếu n ≥ 3 và n lẻ (n = 2p + 1) thì ta thực hiện biến đổi.

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1 - cos²x)^p

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1 - sin²x)^p.

Từ đây ta giải quyết dc bài toán.

2.2. Dạng 2: Tính tích phân .

Trường hợp 1: m; n là các số nguyên

- Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

- Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì ta biến đổi

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

- Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.

Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ:

2.3. Dạng 3: Tính tích phân .

Sử dụng các công thức sau:

3. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

4. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho . Đẳng thức nào sau đây đúng?                

Lời giải

Ta có

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho:

Đặt S = a + b + c. Giá trị của S bằng

Lời giải

Ta có 

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho . Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn C.

5. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;π] đạt giá trị bằng 0?

Câu 2. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn . Giá trị của tích phân  là

A. -6.                       B. 6.

C. -3.                       D. 3.

Câu 3. Tích phân  có giá trị bằng

Câu 4. Xét tích phân . Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây

Câu 5. Giá trị của tích phân  là:

Câu 6. Giá trị của tích phân  là:

Câu 7. Giá trị tích phân  là:

Câu 8. Giá trị tích phân  là:

Câu 9. Tích phân có giá trị bằng:

Câu 10. Cho tích phân . Đặt.Khi đó I bằng:

Câu 11. Giá trị của tích phân  là?

                                       

Câu 12. Giá trị của tích phân  là?

Câu 13. Giá trị của tích phân  là?

Câu 14. Giá trị của tích phân  là?

Câu 15. Giá trị của tích phân  là?

Câu 16. Giá trị của tích phân  là?

Câu 17. Với n ∈ N ,n ≥ 1 tích phân có giá trị bằng?

Câu 18. Giá trị của tích phân  là?

Câu 19. Giá trị của tích phân  là?

Câu 20. Cho . Tính tích phân ?

A. 2018.                  B. -1009.

C. -2018.                 D. 1009.

Đáp án

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải
• Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải
• Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế và cách giải
• Tính chất của nguyên hàm và cách giải bài tập
• Các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải

---

---

---