Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải (hay, chi tiết)
Với loạt Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải
A. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản.
1. Một số công thức cần thiết.
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai
2. Các dạng toán thường gặp, công thức giải nhanh và ví dụ minh hoạ.
2.1. Dạng 1: Tích phân dạng .
Phương pháp giải:
Biến đổi
Ví dụ 1. Cho, với a,b,c ∈ R ; c ≠ 0. Đặt S = a + b + c, lúc này S có giá trị bằng
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có:
Chọn D.
2.2. Dạng 2: Tính tích phân .
Phương pháp giải
Cách 1:
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)
* Nếu mẫu số có nghiệm kép x = x0 tức là ax2 + bx + c = a(x - x0)2 ta giả sử
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B thì ta có .
* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x1;x2: ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) thì ta giả sử:
Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B ta có .
Ví dụ 2. Cho ,a;b ∈ Z thì a + 2b có giá trị bằng:
A. ‒35 B. ‒2
C. 2 D. 3
Chọn D.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
Do đó: a = - 7; b = 5 => a + 2b = 3
Cách 2: Ta thấy .
Giả sử
Đồng nhất hệ số ta có
Áp dụng công thức ta có
Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.
Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).
Ta thấy .
1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.
2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.
Ta thấy chỉ có trường hợp X = 5;F(X) = -7 là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận a = -7; b = 5 => a + 2b = 3
3. Bài tập tự luyện.
Câu 1. Tích phân có giá trị bằng
Câu 2. Với 0 < a < 1, giá trị của tích phân sau là:
Câu 3. Giá trị của tích phân gần nhất với gái trị nào sau đây?
Câu 4. Tích phân . Giá trị của a là:
Câu 5. Cho . Giá trị a + b là:
Câu 6. Tính:
Câu 7. Tính:
Câu 8. Tính
Câu 9. Tính:
A. K = 1 B. K = 2
C. K = -2 D. Đáp án khác.
Câu 10. Biết với a, b, c là các số hữu tỉ, tính S = 2a + b2 + c2
A. S = 515
B. S = 164
C. S = 436
D. S = -9
Câu 11. Biết với a, b, c nguyên. Tính T = a + b + c.
A. T = 4. B. T = 2.
C. T = 1. D. T = 3.
Câu 12. Tính tích phân
A. 5ln2 - 3ln2
B. 5ln2 + 2ln3
C. 5ln2 - 2ln3
D. 2ln5 - 2ln3
Đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
B |
B |
A |
D |
B |
D |
B |
B |
D |
A |
C |
C |
B. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Một số công thức và kĩ năng biến đổi.
2. Các dạng toán hay gặp và cách giải.
2.1. Dạng 1: Tính tích phân:
1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.
2. Nếu n = 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.
3. Nếu n ≥ 3 và n lẻ (n = 2p + 1) thì ta thực hiện biến đổi.
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1 - cos2x)p
Từ đây ta giải quyết được bài toán.
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển (1 - sin2x)p.
Từ đây ta giải quyết dc bài toán.
2.2. Dạng 2: Tính tích phân .
Trường hợp 1: m; n là các số nguyên
- Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
- Nếu m chẵn, n lẻ (n = 2p + 1) thì biến đổi
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
- Nếu m lẻ (m = 2p + 1), n chẵn thì ta biến đổi
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
- Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.
Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ:
2.3. Dạng 3: Tính tích phân .
Sử dụng các công thức sau:
3. Đổi biến số với hàm lượng giác.
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
4. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Cho . Đẳng thức nào sau đây đúng?
Lời giải
Ta có
Từ đây ta giải quyết được bài toán.
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho:
Đặt S = a + b + c. Giá trị của S bằng
Lời giải
Ta có
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho . Đẳng thức nào sau đây là đúng?
Lời giải
Chọn C.
5. Bài tập tự luyện.
Câu 1. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;π] đạt giá trị bằng 0?
Câu 2. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn . Giá trị của tích phân là
A. -6. B. 6.
C. -3. D. 3.
Câu 3. Tích phân có giá trị bằng
Câu 4. Xét tích phân . Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây
Câu 5. Giá trị của tích phân là:
Câu 6. Giá trị của tích phân là:
Câu 7. Giá trị tích phân là:
Câu 8. Giá trị tích phân là:
Câu 9. Tích phân có giá trị bằng:
Câu 10. Cho tích phân . Đặt.Khi đó I bằng:
Câu 11. Giá trị của tích phân là?
Câu 12. Giá trị của tích phân là?
Câu 13. Giá trị của tích phân là?
Câu 14. Giá trị của tích phân là?
Câu 15. Giá trị của tích phân là?
Câu 16. Giá trị của tích phân là?
Câu 17. Với n ∈ N ,n ≥ 1 tích phân có giá trị bằng?
Câu 18. Giá trị của tích phân là?
Câu 19. Giá trị của tích phân là?
Câu 20. Cho . Tính tích phân ?
A. 2018. B. -1009.
C. -2018. D. 1009.
Đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
A |
D |
C |
D |
A |
B |
D |
C |
D |
C |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
A |
C |
B |
D |
D |
C |
C |
D |
A |
D |
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
- Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải
- Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế và cách giải
- Tính chất của nguyên hàm và cách giải bài tập
- Các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải
- Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ và cách giải
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12