Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ và cách giải

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Cho hàm số y = f(x) có dạngtrong đó P và Q là các đa thức, và P không chia hết cho Q.

- Hàm f(x) được gọi là hàm phân thức hữu tỉ thực sự nếu bậc của P < bậc của Q.

- Trong các bài toán tìm nguyên hàm và tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, nếu f(x) chưa phải là hàm phân thức hữu tỉ thực sự thì ta thực hiện chia tử thức cho mẫu thức để được 

 

Khi đó,h(x) sẽ là hàm phân thức hữu tỉ thực sự.

Ta có: Một phân thức thực sự luôn phân tích được thành tổng các phân thức đơn giản hơn. Đó là các biểu thức có dạnglà các hàm số có thể tìm nguyên hàm một cách dễ dàng. Để tách được phân thức ta dùng phương pháp hệ số bất định.

1. Trường hợp phương trình Q(x) = 0 có nghiệm thực và các nghiệm đều là nghiệm đơn.

 Q(x) = (a₁x +b₁)(a₂x +b₂)...(a_kx +b_k)

(Số nhân tử chính bằng bậc của đa thức Q(x)).

Trong trường hợp này, g(x)  có thể biểu diễn dưới dạng:

 

Sau khi biểu diễn được g(x) về dạng này, bài toán trở thành bài toán cơ bản.

Ví dụ về cách phân tích:

Khi đó (A + B)x - 2A - B = 4x - 3, đồng nhất hệ số thì ta được

Khi đó ta được:

2. Trường hợp Q(x) = 0 có nghiệm thực là nghiệm bội.

- Nếu phương trình Q(x) = 0 có các nghiệm thực a₁;a₂;...;a_n trong đó a₁ là nghiệm bội k thì ta phân tíchvề dạng

Ví dụ về cách phân tích:

Từ đây, đồng nhất hệ số ta có

Khi đó:

TỔNG QUÁT: Việc tính nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ thực sự sau khi phân tích được đưa về các dạng nguyên hàm sau:

3. Mở rộng: Nguyên hàm hàm phân thức chứa căn ở mẫu thức

3.1. Dạng 1:

Phương pháp chung

Ta có  

3.2. Dạng 2:

Phương pháp chung

Ta có  

3.3. Dạng 3:

Phương pháp chung

Đặt :

4. Nguyên hàm của một số nguyên hàm liên quan trong dạng bài này.

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1. Nguyên hàmlà:

Lời giải

Đáp án đúng là B.

Ví dụ 2. Nguyên hàmlà:

Lời giải

Ta có:

Đáp án đúng là D.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm sốvới F(0) = 8 là:

Câu 2.bằng:

Câu 3. bằng:

A. 3ln|x-2| - 2ln|x-1| + C

B. 3ln|x-2| + 2ln|x-1| + C

C. 2ln|x-2| - 3ln|x-1| + C

D. 2ln|x-2| + 3ln|x-1| + C

Câu 4. bằng:

Câu 5.  Tìm nguyên hàm:.

Câu 6.bằng:

Câu 7. Cho hàm.Khi đó:

Câu 8. Họ nguyên hàm F(x) của hàm sốlà

Câu 9. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm sốthỏa mãn . Khi đó F(3) bằng:

A. 2ln2                      B. ln2                        

C. -2ln2                     D. –ln2

Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết

Câu 11. Tính

Câu 12. Họ nguyên hàm của là:

Câu 13. Nếu   là một nguyên hàm của hàmthì hằng số C bằng

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số:là:

Câu 15. Nguyên hàm của hàm số:là:

Câu 16. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số:.Một học sinh trình bày như sau:

(I)

(II) Nguyên hàm của các hàm sốtheo thứ tự là:

(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Nếu sai, thì sai ở phần nào?

A. I                           B. I, II

C. II, III                     D. III

Câu 17. Tính:

Câu 18. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số:

Câu 19. Tính nguyên hàm?

Câu 20. Nguyên hàm của hàm số

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A	B	A	C	D	A	D	A	D	D
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
D	B	D	B	A	D	B	D	D	B

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải
• Tính chất của tích phân và cách giải bài tập
• Các phương pháp tính tích phân và cách giải
• Tích phân của hàm lượng giác và phân thức và cách giải
• Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải

---

---

---