Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Nguyên hàm của hàm số lượng giác và cách giải

A. LÝ THUYẾT.

1. Một số công thức lượng giác cần nhớ

- Hệ thức lượng giác cơ bản: 

- Công thức cộng:

- Công thức nhân đôi: 

- Công thức hạ bậc: 

- Công thức nhân ba: 

- Công thức biến đổi tích thành tổng: 

2. Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạngtrong đó m, n là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ:

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của sinx, cosx để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

2. Dạng

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

3. Dạngtrong đó m, n là các số nguyên:

4. Đổi biến số với hàm lượng giác.

Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng  , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:

VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1: Tìm

Lời giải

Vì lũy thừa của  là số lẻ nên ta đổi biến u = cosx => du = (cosx)'dx

Ta có: 

Thay u = cos x,du = (cosx)' ta được:

Thay ngược trở lại, ta có:

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm 

Lời giải

a. Do lũy thừa của  là số nguyên dương chẵn nên đặt u = tanx. Từ công thức tổng quát đã chứng minh ở trên ta có:

Thay u = tan x trở lại, ta có:

b. Do lũy thừa của  là một số lẻ nên ta đặt, do vậy, từ công thức tổng quát chứng minh ở trên ta có

Thay  trở lại, ta có:

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = x + sinxsin2x .Biết rằng f(0) = 2. Giá trị củalà:

Lời giải:

Ta có: f'(x) = x + sinxsin2x = x + 2sin²x

Khi đó:

Lại có:

Chọn B

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Tìm công thức sai:

Câu 2. Tìm nguyên hàm của  là:

Câu 3. bằng:

A. 2tan2x + C           B. -4cot2x + C        

C. 4cot2x + C           D. 2cot2x + C

Câu 4.bằng:

Câu 5.  bằng:

Câu 6. Hàm số F(x) = ln|sinx - 3cosx| là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:

Câu 7. Tìm nguyên hàm

Câu 8. Cho.Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và

Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số y = sin3x

 

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f(x) = tan³x là:

Câu 11. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

Câu 12. Một nguyên hàm của hàm số  là:

Câu 13. Họ nguyên hàm của f(x) = sin³x

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx + cosx là:

A. 2cosx - sinx + C

B. 2cosx + sinx + C

C. -2cosx - sinx + C

D. -2cosx + sinx + C

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x là

Câu 16. Tính

Câu 17.  bằng:

Câu 18.  bằng:

Câu 19. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn là:

Câu 20. Nguyên hàm F(x) của hàm số thỏa mãn là

Câu 21. Cho hàm số f(x) = cos3x.cosx. Nguyên hàm của hàm số f(x) bằng 0 khi x = 0 là hàm số nào trong các hàm số sau ?

Câu 22.  bằng:

Câu 23. Nguyên hàm của  là:

Câu 24.  bằng:

Câu 25.  bằng:

Câu 26.  bằng:

Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^-xcosx là

Câu 28. Nguyên hàm của hàm số:là:

Câu 29. Biểu thức nào sau đây bằng với

Câu 30. Đổi biến x = 2sint tích phân   trở thành

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
D	C	B	D	C	A	D	D	A	D	D	B	B	D	A
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
C	C	C	D	D	B	A	C	A	B	A	A	A	B	A

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Tính chất của tích phân và cách giải bài tập
• Các phương pháp tính tích phân và cách giải
• Tích phân của hàm lượng giác và phân thức và cách giải
• Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải
• Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải

---

---

---