Tính chất của tích phân và cách giải bài tập (hay, chi tiết)
Với loạt Tính chất của tích phân và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.
Tính chất của tích phân và cách giải bài tập
A. LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] .Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b].Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x) kí hiệu là
Ta dùng kí hiệuđể chỉ hiệu số F(b) - F(a) .
Vậy.
Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước;
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay .Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy
2. Tính chất của tích phân
Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.
3. Định lý.
Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên R.
- Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó
- Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó .
4. Các tính chất bổ sung.
Hệ quả: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục và thỏa mãn
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ.
1. Phương pháp giải:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: .
Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:
• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.
• Bước 2. Tính F(b) − F(a).
- Chú ý: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân đã nêu ở phần lý thuyết để phân tích bài toán, đưa các hàm số dưới dấu tích phân về dạng cơ bản để xác định được nguyên hàm của hàm số một cách dễ dàng.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính ta thu được kết quả là:
Lời giải
Ta có :
Chọn B.
Ví dụ 2: Tính tích phân
Lời giải
Nhận xét:
Do đó:
Vậy I = 5.
Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] và 3F(a) - 2 = 3F(b). Tính tích phân
Lời giải
Ta có:
Do đó
Chọn D
Ví dụ 4: Cho các tích phân.Tính
A. I = 2 B. I = 6
C. I = - 2 D. I = - 6
Lời giải
Ta có:(tích phân không phụ thuộc vào biến)
Lại có:
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho. Tính
Lời giải
Ta có:
Chọn A.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Câu 1.bằng:
Câu 2.bằng:
Câu 3.bằng:
Câu 4.bằng:
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
Câu 5. bằng:
Câu 6. Kết quả của tích phân
Câu 7. Tích phân
A. 0 B. 2
C. 8 D. 4
Câu 8. Tích phân bằng
Câu 9. Tính ?
A. 2ln3 B. ln3
C. ln2 D. ln6
Câu 10. Nếubằng
A. -1. B. -11.
C. 1. D. 11.
Câu 11. Cho biết. Giá trị của là:
A. Chưa xác định được B. 12
C. 3 D. 6
Câu 12. Cho. Tìm I?
Câu 13. Nếu bằng:
A. 5 B. 29
C. - 5 D. 15
Câu 14. f và g là hai hàm số theo x. Biết rằng ∀x ∈ [a,b], f'(x) = g'(x)
Trong các mệnh đề:
Mệnh đề nào đúng?
A. I B. II
C. Không có D. III
Câu 15. Để thì giá trị của là bao nhiêu ?
A. 1 B. 3
C. 2 D. 4
Câu 16. Nếu bằng:
A. 3 B. 17
C. 170 D. - 3
Câu 17. Tìm a sao cho
A. Đáp án khác B. a = - 3
C. a = 5 D. a = 3
Câu 18. Biếtkhi đó b nhận giá trị bằng:
A. b = 1 hoặc b = 4
B. b = 0 hoặc b = 2
C. b = 1 hoặc b = 2
D. b = 0 hoặc b = 4
Câu 19. Cho . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng
A. a = - b B. a < b
C. a > b D. a = b
Câu 20. Nếu, với a < d < b thìbằng:
A. - 2 B. 3
C. 8 D. 0
Câu 21. Cho tích phân, trong các kết quả sau:
Kết quả nào đúng?
A. Chỉ II. B. Chỉ III.
C. Cả I, II, III. D. Chỉ I.
Câu 22. Cho hàm số y = f(x) liên tục và chỉ triệt tiêu khi x = c trên [a; b]. Các kết quả sau, câu nào đúng?
Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai về kết quả
A. a.b = 3(c + 1)
B. ac = b + 3
C. a + b + 2c = 10
D. ab = c + 1
Câu 24. Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn . Khi đó giá trị tích phân là:
Câu 25. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
Câu 26. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g(x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a;b]. Xét các khẳng định sau:
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 4.
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Câu 28. Tích phân(với k là hằng số ) có giá trị bằng:
A. k(e2 - 1)
B. e2 - 1
C. k(e2 - e)
D. e2 - e
Câu 29. Tích phân có giá trị bằng
Câu 30. Giá trị của a để đẳng thức là đẳng thức đúng
A. 4. B. 3.
C. 5. D. 6.
Đáp án
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
A |
B |
C |
D |
D |
C |
D |
C |
D |
D |
B |
C |
A |
C |
D |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
A |
A |
D |
D |
B |
A |
B |
D |
B |
C |
B |
A |
A |
B |
B |
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:
- Các phương pháp tính tích phân và cách giải
- Tích phân của hàm lượng giác và phân thức và cách giải
- Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải
- Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải
- Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế và cách giải
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12