Tính chất của tích phân và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Tính chất của tích phân và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Tính chất của tích phân và cách giải bài tập

A. LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa.

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] .Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b].Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x) kí hiệu là 

Ta dùng kí hiệuđể chỉ hiệu số F(b) - F(a) . 

Vậy.

Ta gọi  là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước;

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay  .Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy

2. Tính chất của tích phân

Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.

 

3. Định lý.

Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên R.

- Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó 

- Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó .

4. Các tính chất bổ sung.

 Hệ quả: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục và thỏa mãn

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ.

1. Phương pháp giải:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:   .

Như vậy, để tính tích phân của 1 hàm số ta cần:

• Bước 1: Xác định F(x) là nguyên hàm của hàm số.

• Bước 2. Tính F(b) − F(a).

- Chú ý: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân đã nêu ở phần lý thuyết để phân tích bài toán, đưa các hàm số dưới dấu tích phân về dạng cơ bản để xác định được nguyên hàm của hàm số một cách dễ dàng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính  ta thu được kết quả là:

Lời giải

Ta có :  

Chọn B.

Ví dụ 2: Tính tích phân

Lời giải

Nhận xét:

Do đó:

Vậy I = 5.

Ví dụ 3: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] và 3F(a) - 2 = 3F(b). Tính tích phân

Lời giải

Ta có:  

Do đó

Chọn D

Ví dụ 4: Cho các tích phân.Tính

A. I = 2               B. I = 6                           

C. I = - 2             D. I = - 6

Lời giải

Ta có:(tích phân không phụ thuộc vào biến)

Lại có:

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho. Tính

Lời giải

Ta có:   

Chọn A.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1.bằng:

Câu 2.bằng:

Câu 3.bằng:

Câu 4.bằng:

A. 5                     B. 4

C. 3                     D. 2

Câu 5. bằng:

Câu 6. Kết quả của tích phân

Câu 7. Tích phân

A. 0                      B. 2

C. 8                      D. 4

Câu 8. Tích phân  bằng

Câu 9. Tính  ?

A. 2ln3                     B. ln3

C. ln2                       D. ln6

Câu 10. Nếubằng

A. -1.                        B. -11.

C. 1.                         D. 11.

Câu 11. Cho biết. Giá trị của  là:

A. Chưa xác định được   B. 12

C. 3                           D. 6

Câu 12. Cho. Tìm I?

Câu 13. Nếu  bằng:

A. 5                           B. 29

C. - 5                         D. 15

Câu 14. f và g là hai hàm số theo x. Biết rằng ∀x ∈ [a,b], f'(x) = g'(x)

Trong các mệnh đề:

Mệnh đề nào đúng?

A. I                           B. II                           

C. Không có             D. III

Câu 15. Để  thì giá trị của  là bao nhiêu ?

A. 1                  B. 3                           

C. 2                  D. 4

Câu 16. Nếu  bằng:

A. 3                   B. 17

C. 170               D. - 3

Câu 17. Tìm a sao cho

A. Đáp án khác          B. a = - 3                  

 C. a = 5                     D. a = 3

Câu 18. Biếtkhi đó b nhận giá trị bằng:

A. b = 1 hoặc b = 4

B. b = 0 hoặc b = 2 

C. b = 1 hoặc b = 2 

D. b = 0 hoặc b = 4 

Câu 19. Cho . Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng

A. a = - b             B. a < b                     

C. a > b               D. a = b

Câu 20. Nếu, với a < d < b thìbằng:

A. - 2                  B. 3                           

C. 8                    D. 0

Câu 21. Cho tích phân, trong các kết quả sau:

Kết quả nào đúng?

A. Chỉ II.                B. Chỉ III. 

C. Cả I, II, III.        D. Chỉ I.

Câu 22. Cho hàm số y = f(x) liên tục và chỉ triệt tiêu khi x = c trên [a; b]. Các kết quả sau, câu nào đúng?

Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai về kết quả

A. a.b = 3(c + 1)

B. ac = b + 3

C. a + b + 2c = 10

D. ab = c + 1

Câu 24. Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R thỏa mãn . Khi đó giá trị tích phân  là:

Câu 25. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

Câu 26. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g(x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a;b]. Xét các khẳng định sau:

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?

A. 1.                     B. 2.                          

C. 3.                     D. 4.

Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 28. Tích phân(với k là hằng số ) có giá trị bằng:

A. k(e² - 1)

B. e² - 1

C. k(e² - e)

D. e² - e

Câu 29. Tích phân  có giá trị bằng

Câu 30. Giá trị của a để đẳng thức  là đẳng thức đúng

A. 4.                      B. 3. 

C. 5.                      D. 6.

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
A	B	C	D	D	C	D	C	D	D	B	C	A	C	D
16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
A	A	D	D	B	A	B	D	B	C	B	A	A	B	B

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

• Các phương pháp tính tích phân và cách giải
• Tích phân của hàm lượng giác và phân thức và cách giải
• Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng và cách giải
• Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay và cách giải
• Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực tế và cách giải

---

---

---