Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết

Tải xuống

A. Phương pháp giải

Để chứng minh đường thẳng d là tia tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại điểm A ta dùng các cách sau đây:

Cách 1: Kẻ OA ⊥ d tại A, chứng minh OA = R.

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A ∈ (O ; R) thì ta cần chứng minh OA ⊥ d tại điểm A.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA2 = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Vì MA2 = MB.MC ⇒ Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Xét ΔMAC và ΔMBA có

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 : góc chung

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (chứng minh trên)

Suy ra Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (3)

Lại có Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (4)

Từ (3) và (4) suy ra Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 hay Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

⇒ MA là tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 2 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại D. Đường thẳng qua O và vuông góc với phân giác của Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 , cắt CD tại M. Qua M kẻ đường thẳng d song song với AB. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Kẻ OH ⊥ d ⇒ Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có CD là tiếp tuyến của (O) nên OC ⊥ CD tại C ⇒ Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Gọi E là giao điểm của tia phân giác Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 với OM

Xét tam giác MDO có : DE là phân giác Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 , DE là đường cao

⇒ ΔDOM cân tại D

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc ở đáy)

Ta lại có : d//AB ⇒ Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc so le trong)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Xét ΔOHM và ΔOCM , có :

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

OM: cạnh chung

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (cmt)

⇒ ΔOHM = Δ OCM (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ OH = OC = R (hai cạnh tương ứng)

⇒ H ∈ (O;R)

Do đó d là tiếp tuyến của (O;R).

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB,AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AI. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có : Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BF ⊥ AC , CE ⊥ AB

Xét tam giác ABC, có BF ∩ CE = {I}

⇒ I là trực tâm tam giác ABC

Gọi H là giao điểm của AI với BC

⇒ AH ⊥ BC tại H

Xét tam giác AFI vuông tại F, có M là trung điểm của AI

⇒ FM = MA = MI

⇒ ΔFMA cân tại M

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9(hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác OFC, có OF = OC

⇒ FOC cân tại O

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9(hai góc ở đáy) (2)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc phụ nhau)(3)

Từ (1), (2) và (3) Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ MF ⊥ OF

Vậy MF là tiếp tuyến của (O).

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax, By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .

Khi đó:

a. CD tiếp xúc với đường tròn (O)

b. CD cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt

c. CD không có điểm chung với (O)

d. CD = R2

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC

Kẻ OH ⊥ CD

Ta có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Mà AC = BE ⇒ BE.BD = R2 = OB2

⇒ ΔDOE vuông tại O

Xét ΔOAC và ΔOBE , ta có:

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

AC = BE (gt)

OA = OB (=R)

⇒ ΔOAC = ΔOBE (g-g-g)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc tương ứng)

Ta có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Nên C, O, E thẳng hàng

Xét tam giác DCE, có:

OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của △CDE nên OD cũng là đường phân giác.

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (DO là phân giác Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Xét ΔOHD và ΔOBD , có:

OD chung

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (Cmt)

⇒ ΔOHD = ΔOBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ OH = OB ⇒ CD tiếp xúc với đường tròn (O).

Câu 2 : Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và BK cắt nhau ở I. Khi đó:

a. AK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

b. BK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

c. BH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

d. HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Gọi O là trung điểm của AI, khi đó: KO là đường trung tuyến của tam giác vuông AKO.

⇒ AO = IO = OK.

⇒ ΔOAK cân tại O

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9(hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác BKC vuông tại K, có H là trung điểm của BC(do tam giác ABC cân tại A)

⇒ BH = HK = HC.

⇒ ΔHCK cân tại H

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9(hai góc ở đáy) (2)

Ta lại có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông AHC)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 hay Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Từ đó suy ra rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.

Câu 3 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M sao cho A nằm giữa B và M. Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc với đường tròn (O) tại C. Từ O hạ đường thẳng vuông góc với CB tại H và cắt tia MC tại N. Khẳng định nào sau đây không đúng?

a. BN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b. BC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c. OC là tiếp tuyến của đường tròn (O, ON)

d. AC là tiếp tuyến của đường tròn (C, BC)

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

+ BC là dây của đường tròn (O), nên B sai.

+ Ta có Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ⇒ ΔOCN nội tiếp đường tròn đường kính ON

⇒ OC là dây của đường tròn đường kính ON, nên C sai.

+ Ta có AC là đường thẳng đi qua tâm của (C,BC) nên không thể là tiếp tuyến. Do đó D sai.

+ Ta có OH ⊥ BC

Xét tam giác OBC cân tại O (OB = OC) có OH là đường cao

⇒ OH là phân giác Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Xét ΔOCN và ΔOBN , ta có :

OC = OB

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

ON : cạnh chung

⇒ ΔOCN = ΔOBN (c-g-c)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9(hai góc tương ứng)

⇒ BN ⊥ OB

Vậy BN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E, đường tròn tâm O’ đường kính HC cắt AC tại F. Khi đó:

a. EF là tiếp tuyến của đường tròn (H, HO)

B, O’F là tiếp tuyến của đường tròn Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

c. EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d. OF là tiếp tuyến của đường tròn (C, CF).

Hướng dẫn giải

Đáp án

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

EF không vuông góc với OH nên EF không là tiếp tuyến của (H,HO).

EF là không là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

EF không vuông góc với CF nên EF không là tiếp tuyến của (C,CF).

Xét tam giác O’CF cân tại O’(O’C = O’F)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc ở đáy)

Ta lại có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc cùng phụ Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( ΔOAE cân tại O)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc phụ nhau trong tam giác vuông AEF)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Vậy O’F là tiếp tuyến của đường tròn Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .

Câu 5 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn dựng hai tiếp tuyến Ax và By. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia Ay lấy điểm D. Điều kiện cần và đủ để CD tiếp xúc với đường tròn (O) là:

A. AB2 = AC.BD

B. AB2 = 2AC.BD

C. AB2 = 4AC.BD

D. AB2 = AC2.BD2

Hướng dẫn giải

Đáp án C

( ⇒ ) CD tiếp xúc với đường tròn (O)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

CD là tiếp tuyến của (O) tại H

CD cắt Ax tại C, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CH và OC là tia phân giác của Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (1)

CD cắt By tại D, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

và OD là phân giác của Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (2)

Từ (1) và (2) suy ra Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta lại có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Xét tam giác COD vuông tại O, OH ⊥ CD :

OH2 = DH.CH = DB.AC

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

(⇐)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Kẻ OH ⊥ CD

Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC

Ta có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Mà AC = BE ⇒ BE.BD = R2 = OB2

⇒ ΔDOE vuông tại O

Xét ΔOAB và ΔOBE , ta có:

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

AC = BE (gt)

OA = OB (=R)

⇒ ΔOAB = ΔOBE

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc tương ứng)

Ta có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Nên C, O, E thẳng hàng

Xét tam giác DCE, có:

OD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ΔCDE nên OD cũng là đường phân giác.

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9(DO là phân giác Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Xét ΔOHD và ΔOBD , có:

OD chung

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (Cmt)

⇒ ΔOHD = ΔOBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ OH = OB ⇒ CD tiếp xúc với đường tròn (O).

Câu 6 : Cho đường tròn (O, R) đường kính AB. Vẽ dây cung AC sao cho góc CAB bằng 30o . Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Khi đó:

a. AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b. BM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c. CM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d. AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có: Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9(hai góc phụ nhau)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Xét tam giác OBC có OB = OC và Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ ΔOBC đều

⇒ OB = BC = BM

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ ΔOCM vuông tại C

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ⇒ OC ⊥ CM

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Câu 7 : Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào sau đây đúng:

A. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi chúng có điểm chung

B. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A

C. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A và A thuộc (O)

D. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A và OA > R.

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Theo định nghĩa của tiếp tuyến, Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của (O) khi d vuông góc với bán kính tại A và OA = R.

Câu 8 : Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ đường cao AH, gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt CA ở E, O là trung điểm của CD Khi đó, góc HEO bằng:

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Gọi O là tâm đường tròn đường kính CD

E nằm trên đường tròn đg kính CD

⇒ ΔDE vuông tại E

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9⇒ DE ⊥ EC

Mà AB AC (do tam giác ABC vuông tại A)

⇒ DE // AB ( từ vuông góc đến song song)

⇒ ABDE là hình thang

Gọi M là trung điểm của AE

Ta có: H là trung điểm của BD (D đối xứng với B qua H)

⇒ HM là đg trung bình của hình thang ABDE

⇒ HM // AB HM ⊥ AC

Xét ΔAHE có HM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao

⇒ ΔAHE cân tại H ⇒ Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( Hai góc ở đáy)

+ ΔCOE cân tại O ⇒ Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc ở đáy)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc phụ nhau trong tam giác vuông AHC)

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9.

Câu 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Khi đó:

A. EH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

B. BH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

C. AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

D. CH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta nhận thấy H ∈ (I), H ∈ (J)

Mà AH ⊥ JH , AH ⊥ IH

Suy ra AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H.

Câu 10 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm và BC=5cm. Khi đó:

A. AB là tiếp tuyến của (C;3cm).

B. AC là tiếp tuyến của (B;3cm).

C. AB là tiếp tuyến của (B;4cm).

D. AC là tiếp tuyến của (C;4cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Vì AB = 3cm ⇒ A ∈ (B;3cm).

Xét tam giác ABC, có :

BC2 = 52 = 25

AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

⇒ AB2 + AC2 = BC2

Theo định lý Py – ta – go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A

⇒ AB ⊥ AC

⇒ AC là tiếp tuyến của (B;3cm).

Tải xuống

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp

Nhóm học tập 2k7