Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay



Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay

A. Phương pháp giải

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai  ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

1. Phương pháp.

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 (1)

- Nếu  a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:  Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

2. Ví dụ

Giải các phương trình sau

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

a. Ta có: a = 1; b = 1; c = - 6 ⇒ ∆ = b2 – 4ac = 1 + 24 = 25 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Dạng 2: Tìm 2 số khi biết tổng và tích của hai số đó

1. Phương pháp:

Nếu hai số x1; x2 có  x1 + x2 = S ;  x1.x2 = P thì x1 và x2 có thể là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0

Tính ∆ = (-S)2 – 4P = S2 – 4P = ?

+ Nếu S2 – 4P < 0 thì không tồn tại x1 và x2.

+ Nếu S2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2  tính theo công thức nghiệm

Hoặc tính Tính ∆ꞌ = (-Sꞌ)2 – P = (Sꞌ)2 – P = ? ( với S = 2Sꞌ)

+ Nếu (Sꞌ)2 – P < 0 thì không tồn tại x1 và x2.

+ Nếu (Sꞌ)2 – 4P ³ 0 thì tồn tại hai nghiệm x1 và x2  tính theo công thức nghiệm thu gọn

2. Ví dụ

Tìm hai số u và v biết:  u + v = 42 và u.v = 441

Giải

Ta có:  u + v = 42 và u.v = 441 nên u và v có thể là nghiệm của phương trình bậc hai:

x2 – 42x + 441 = 0 (*)

Ta có:   ∆ꞌ = (- 21)2 - 441 = 0

Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21

Vậy u = v = 21

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương pháp.

- Xác định điều kiện của phương trình nếu có

- Quy đồng, biến đổi, đặt ẩn phụ...để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai.

2. Ví dụ

Giải phương trình sau

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

a. Đặt t = |x| (t  ≥ 0) ⇒ t2  = x2. Khi đó phương trình (1) trở thành: t2 – t – 6 =0      

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.1 .(-6) = 25 > 0

Do đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 (thỏa mãn t  ≥ 0)

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 (không thỏa mãn t  ≥ 0)

Với t = 3 ⇔ |x| = 3 ⇔ x = 3 hoặc x = -3

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 3 hoặc x = -3

b. ĐK: x ≠ -1; x ≠ 4

Phương trình (2) Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

⇒ 2x(x- 4) = x2 – x + 8

⇔ x2 – 7x – 8 = 0 (*)

Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình  (*) có hai nghiệm

x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)

Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8

Dạng 4: Phương trình bậc hai chứa tham số

1.Phương pháp: cho phương trình ax2 + bx + c =0(a ≠ 0)

a. Điều kiện để phương trình

1. Có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0

2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

3. Có nghiệm kép ⇔ Δ = 0

4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0

5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0  và P > 0

6. Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0

7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0 ; S > 0 và P > 0

8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0 ; S < 0 và P > 0

9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0

10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi

ac < 0 và S > 0

b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là một số thực)

B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm: Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

B3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

⇒ x1 và x2

B4- Thay x1 và x2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.

c. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |x1 - x2|= k (k ∈ R)

- Bình phương trình hai vế: (x1 - x2)2 = k2 ⇔ ... ⇔ (x1 + x2)2-4x1x2 = k2

- Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận.

d. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0)

B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2  (*)

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

Ta có Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9. Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

Ta có Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 (*). Thay biểu thức Vi-ét vào hệ(*) để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2

Ta có (x1 - α)(x2 - α) < 0 (*) .Thay biểu thức Vi-ét vào (*) để tìm m

2. Ví dụ

Cho phương trình x2 + 5x + 3m - 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số)

a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x13 - x23 + 3x1x2 = 75

Giải

a. Phương trình có 2 nghiệm khi:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy với Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 thì phương trình có hai nghiệm

b. Với Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 thì phương trình có 2 nghiệm x1, x2

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Chia hai vế của (*) cho 25 - x1x2 ≠ 0 ta được:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp x1 + x2 = -5 suy ra x1 = -1; x2 = -4. Thay vào x1x2 = 3m - 1 suy ra Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 là giá trị cần tìm.

B. Bài tập

Câu 1: Cho phương trình x2 - (2m - 1)x + m2 - 1 = 0 (x là ẩn số)

Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Δ = (2m - 1)2 - 4.(m2 - 1) = 5 - 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi  Δ > 0 ⇔ 5 - 4m > 0 ⇔ m < 5/4

Đáp án là C

Câu 2: Tập nghiệm của phương trình x2 - 10x + 9 = 0 là

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Phương trình x2 - 10x + 9 = 0 có a + b + c = 1 + (-10) + 9 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1,9}

Đáp án B

Câu 3: Tìm m để phương trình mx2 –2(m – 1)x + m - 3 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt

A. m > -2 và m ≠ 0                      

B. m > -1 và m ≠ 0

C. m > 2 và m ≠ 1                      

D. m > 3 và m ≠ 0

Giải

Điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy với m > -1 và m ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 4: Tìm m để phương trình (m – 2)x2 –2(m + 1)x + m = 0 (1) có 1 nghiệm  

       

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

TH1: m-2 = 0 ⇔ m = 2, thay m = 2 vào phương trình (1) ta được: Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

-6x + 2 = 0

với m = 2 phương trình (1) có nghiệm duy nhất nên m = 2 nhận

TH2: m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2, khi đó (1) là phương trình bậc hai.

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

với Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9  phương trình (1) có nghiệm duy nhất nên Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 nhận

Vậy với Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 hoặc m = 2 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Đáp án A

Câu 5: Cho phương trình x2 –(m - 1)x - m = 0 (1), kết luận nào sau đây đúng về phương trình (1)

Phương trình vô nghiệm với mọi m

B. Phương trình có nghiệm kép với mọi m

C. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

D. Phương trình có nghiệm với mọi m

Giải

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có hệ số a = 1, b = -m + 1, c = -m

⇒ a – b + c = 1 + m – 1 – m = 0

Do đó (1) có 2 nghiệm x = -1, x = m

Vì nếu m = -1 thì (1) có 1 nghiệm x = -1 nên ta chỉ có thể khẳng định (1) có nghiệm với mọi m

Đáp án D

Câu 6: Số nghiệm của phương trình: 5x4 + 3x2 – 2 = 0 (1)

A. 1

B. 2               

C. 3          

D. 4

Giải

Đặt t = x2 (điều kiện: t ≥ 0), phương trình (1) có dạng: 5t2 + 3t – 2 = 0

Ta có: a = 5, b = 3, c = -2

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án B

Câu 7: Số nghiệm của phương trình (2x2 + 3)2 – 10x3 – 15x = 0 (1)

A. 1

B. 2               

C. 3          

D. 4

Giải

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

+) 2x2 + 3 = 0 ⇔ 2x2 = –3 ⇒ x2 = Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 (vô nghiệm)

+) 2x2 – 5x + 3 = 0, đây là phương trình bậc hai có: a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0

nên có 2 nghiệm: Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án B

Câu 8: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

A. m = 2

B. m = 3

C. m = 0               

D. m = 1

Giải

Ta có: Δ' = (m + 1)2 - m2 - m + 1 = m2 + 2m + 1 - m2 - m + 1 = m+ 2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > -2

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp với điều kiện m > -2 Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 là các giá trị cần tìm.

Đáp án D

Câu 9: Tìm m để phương trình x2 – 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 - 9x2 = 0

A. m = 1

B. m = 2

C. m = 3               

D. m = 4

Giải

Ta có: Δ' = (-5m)2 - 1.9m = 25m2 - 9m

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: Δ' > 0 ⇔ 25m2 - 9m > 0

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

từ (*) và giả thiết  ta có hệ phương trình:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Với m = 0 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 0 không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m = 1 ta có Δ' = 25m2 - 9m = 16 > 0 thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - 9x2 = 0.

Đáp án A

Câu 10: Tổng các nghiệm của phương trình x2 – x + 5 = 0 là

A. -1

B. 1

C. Không tồn tại               

D. 5

Giải

Phương trình x2 – x + 5 = 0 có ∆ = (-1)2 – 4.1.5 = 1 – 20 = -19 < 0

phương trình vô nghiệm nên không tồn tại tổng các nghiệm

Đáp án là C

Câu 11: Số nghiệm của phương trình Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 là

A. 1

B. 2

C. 3           

D. 4

Giải

Điều kiện: x ≥ 0

Đặt √x = t (điều kiện: x ≥ 0), khi đó phương trình đã cho trở thành: 4t2 - 29t + 52 = 0 (1)

có a = 4, b = -29, c = 52

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

KL: Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án B

Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9 là

A.  13

B.  14

C.  15         

D. 16

Giải

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Với t = 4 ⇒ √(x+1) = 4 ⇔ x + 1 = 16 ⇔ x = 15 (t/m)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 15, do đó tổng các nghiệm bằng 15

Đáp án C

Câu 13: Cho phương trình x2 + 2x - m2 - 1 = 0 (m là tham số). Khẳng định nào sau đây đúng

A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

B. Phương trình vô nghiệm

C. Phương trình có nghiệm kép khi m = 2

D. Phương trình có một nghiệm x = -3 khi m = 1

Giải

Ta có: Δ' = 12 - 1.(-m2 - 1) = 1 + m2 + 1 = m2 + 2 > 0, với mọi m

Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Đáp án A

Câu 14: Cho phương trình x2 + 2x - m2 = 0

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1 = -3x2

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Ta có: Δ' = 12 - 1.(-m2) = 1 + m2 = m2 + 1 > 0, với mọi m

Vì Δ' > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

theo Vi-ét ta có:

  Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Ta có x1 + x2 = -2 (do trên) và x1 = -3x2 nên ta có hệ phương trình sau:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Thay (*) vào biểu thức x1x2 = -m2 ta được:

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án D

Câu 15: Cho phương trình Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9. Chọn khẳng định sai

A. Phương trình có nghiệm dương

B. Phương trình có một nghiệm

C. Phương trình có nghiệm là số chia hết cho 3

D. Phương trình có nghiệm âm

Giải

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3

Đáp án D

Câu 16: Số nghiệm của phương trình x2 + |x - 1| = 1 là

A. 1

B. 2

C. 3           

D. 4

Giải

Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy phương trình có hai nghiệm

Đáp án B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Nhóm học tập 2k7