Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 (cực hay)

---

---

Bài viết Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn.

Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

B₁: Nếu phương trình chưa ở dạng ax² + bx + c = 0 thì biến đổi đưa phương trình về đúng dạng này

B₂: Nếu hệ số a chứa tham số ta xét 2 trường hợp

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận phương trình bx + c = 0

- Trường hợp 2: a  ≠ 0, ta lập biểu thức ∆ = b² – 4ac. Khi đó:

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: 

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

B₃: Kết luận

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x² – 3x + m = 0

Giải

Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có hệ số a = 1

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-3)² – 4.1.m = 9 – 4m

+ Nếu ∆ < 0 ⇔ 9 - 4m < 0 ⇔ 4m > 9 ⇔ m > 9/4   thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 ⇔ 9 - 4m = 0 ⇔ 4m = 9 ⇔ m = 9/4  thì phương trình có nghiệm kép: 

+ Nếu ∆ > 0 ⇔ 9 - 4m > 0 ⇔ 4m < 9 ⇔ m < 9/4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận :

- Nếu  thì phương trình vô nghiệm

- Nếu  thì phương trình có nghiệm kép

- Nếu  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình  mx² – x + 2 = 0(1)

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành

-x + 2 = 0 ⇔ x = 2

Trường hợp 2: nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có:

∆ = b² – 4ac = (-1)² – 4.2.m = 1 – 8m

+ Nếu ∆ < 0 ⇔ 1 - 8m < 0 ⇔ 8m > 1 ⇔ m > 1/8  thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 ⇔ 1 - 8m = 0 ⇔ 8m = 1 ⇔ m = 1/8 thì phương trình có nghiệm kép: 

+ Nếu ∆ > 0 ⇔ 1 - 8m > 0 ⇔ 8m < 1 ⇔ m < 1/8 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận:

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình mx² – 2x + m = x² – 2mx

Giải

Phương trình đã cho ⇔ mx² - 2x + m - x² + 2mx = 0

⇔ (m - 1)x² + 2(m - 1)x + m = 0 (1)

Trường hợp 1: m = 1 thì phương trình (1) trở thành: 1 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Trường hợp 2: m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = (m-1)² – (m-1).(m) = m² – 2m + 1 - m² + m = 1 - m

+ Nếu ∆ꞌ < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1  thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1 (loại vì m ≠ 1)

+ Nếu ∆ꞌ  > 0 ⇔ 1 - m > 0 ⇔ m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết luận : - Nếu m ≥ 1 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu m < 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

B. Bài tập

Câu 1: Tìm m để phương trình x² – 2(m - 1)x – m = 0(1) có hai nghiệm phân biệt

A. m > 1

B. m = 2

C. m < 2

D. ∀ m ∈ R

Giải

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có

Suy ra phương trình  (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Vậy đáp án đúng là D

Câu 2: Tìm m để phương trình (m + 2)x² – (2m + 3)x + m = 0(1) có nghiệm

Giải

Trường hợp 1: nếu m = -2 thì phương trình (1) trở thành

x - 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇒ m = -2 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu m ≠ -2 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ = b² – 4ac = (2m + 3)² – 4m(m + 2) = 4m + 9

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ 4m + 9 ≥ 0 ⇔ m ≥

Kết hợp 2 trường hợp ta có  với m ≥  thì phương trình (1) có nghiệm     

Vậy đáp án đúng là B

Câu 3: Tìm a để phương trình (a – 3)x² – 2(a - 1)x + a - 5 = 0(1) có một nghiệm

Giải

Trường hợp 1: nếu a = 3 thì phương trình (1) trở thành

-4x - 2 = 0 ⇔ x = ⇒  a = 3 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu a ≠ 3 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = (a - 1)² – (a - 3)(a - 5) = a² - 2a + 1 – a² + 8a – 15 = 6a – 14

Suy ra phương trình  (1) có 1 nghiệm khi 6a – 14 = 0

Vậy với a = 3 hoặc  thì phương trình có 1 nghiệm

Vậy đáp án đúng là A

Câu 4: Tìm m để phương trình x² – mx - x + m = mx – 3m (1) có nghiệm kép

A. m = 1

B. m = 2

C. m = 3

D. m = 4

Giải

Phương trình (1) ⇔ x² - mx - x + m - mx + 3m = 0

⇔ x² - 2(m + 1) + 4m = 0

Phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = (m+1)² - 4m.1

= m² + 2m + 1 - 4m

= m² – 2m + 1 =

Suy ra phương trình  (1) có nghiệm kép khi  ∆ꞌ = 0 ⇔ (m - 1)² = 0 ⇔ m = 1

Vậy đáp án đúng là A

Câu 5: Tìm m để phương trình (m – 1)x² – 2mx + m + 1 = 0 (1) vô nghiệm

A. m > -3

B. m = -2

C. m < 7

D. Không có giá trị nào của m

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 1 thì phương trình (1) trở thành

⇔ -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇔  m = 1 (không thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu m ≠ 1 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = m² – (m – 1)(m + 1) = m² – m² + 1 = 1 > 0 ∀ m ≠ 1

Suy ra phương trình  (1) luôn có nghiệm với mọi m, nghĩa là không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm

Vậy đáp án đúng là D

Câu 6: Tìm m để phương trình mx² + 2mx + m - 4 = 0 (1) có ít nhất một nghiệm

A. m > 0

B. m < 0

C. m < 1

D. m > 1

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 0 thì phương trình (1) trở thành

-4 = 0 (phương trình vô nghiệm)

⇒ m = 0 (không thỏa mãn)

Trường hợp 2: nếu m ≠ 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai có

∆ꞌ = (bꞌ)² – ac = m² –m(m – 4) = m² – m² + 4m = 4m

Để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thì  ∆ꞌ ≥ 0 ⇔ 4m ≥ 0 ⇔ m ≥ 0

Vì đang xét m ≠ 0 nên m > 0

Vậy với m > 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Vậy đáp án đúng là A

Câu 7: Tìm m để phương trình (m - 1)x² + 2(m - 1)x - m = 0 (1) có nghiệm kép

Giải

Phương trình (1) có nghiệm kép

Với m = 1, không thỏa mãn m ≠ 1 nên loại

Với , thỏa mãn m ≠ 1nên nhận

Vậy với thì phương trình có nghiệm kép.

Đáp án đúng là C

Câu 8: Tìm m để phương trình (2m-1)x² - 2(m + 4)x +5m + 2 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1) có nghiệm 2 nghiệm phân biệt

Vậy với -1 < m < 2 và  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án là A

Câu 9: Tìm m để phương trình x² – 2mx – m² – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt

A. m > 0

B. Mọi giá trị của m

C. m < 7

D. Không có giá trị nào của m

Giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ' > 0 

⇔ m² - 1.(-m² - 1) > 0

⇔ 2m² + 1 > 0 luôn đúng với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Đáp án B

Câu 10: Tìm a và b để phương trình ax² + (ab + 1)x + b = 0 (1) vô nghiệm

A. a = 2, b = -4

B. a = 1, b ∈ R

C. a > 0, b < 1

D. Không có giá trị nào của a và b

Giải

Nếu a = 0 thì phương trình (1) có dạng x + b = 0 ⇔ x = -b

⇒ với a = 0 và b ∈ R thì (1) luôn có một nghiệm (loại)

Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có

  

phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi a, b (loại)

Vậy không có giá trị nào của a và b để phương trình (1) vô nghiệm

Đáp án D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay
• Cách giải hệ phương trình 2 ẩn bậc hai cực hay, chi tiết
• Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay
• Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, chi tiết

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---

---

---