Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay



Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay

A. Phương pháp giải

- Bài toán: Cho 2 phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số m. Tìm m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

- Cách giải:

+ B1: Tìm điều kiện của m để 2 phương trình cùng có nghiệm

+ B2: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình. Tìm x0

+ B3: Thế x0 tìm được vào một trong hai phương trình tìm m

+ B4: Đối chiếu m tìm được với điều kiện ở B1, nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Ví dụ 1: Cho 2 phương trình : x2 + mx + 2 = 0(1) và x2 + 2x + m = 0(2). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ' ≥ 0 ⇔ 1 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1

⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≤ -2√2 (*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: mx0 - 2x0 + 2 - m = 0 ⇔ (m - 2)x0 = m - 2

Do m ≤ -2√2 nên m – 2 ≠ 0, suy ra x0 = 1

Thay x0 = 1 vào phương trình (1): 1 + m + 2 = 0 hay m = -3( thỏa mãn (*))

Vậy với m = -3 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Ví dụ 2: Cho 2 phương trình : x2 - 2mx + 4m = 0(1) và x2 - mx + 10m = 0(2) . Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ' ≥ 0

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

⇔ m2 - 40m ≥ 0 ⇔ m(m - 40) ≥ 0

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≥ 40 ∨ m ≤ 0 (*)

Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (2) thì 2x0 là nghiệm của phương trình (1). Thay x0 vào (2) và 2x0 vào (1) ta có:     

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: 9m = 0 ⇔ m = 0 (thỏa mãn (*))

Vậy với m = 0 thì phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 3: Cho 2 phương trình : x2 + x + a = 0(1) và x2 + ax + 1 = 0(2).

a. Tìm a để 2 phương trình  có ít nhất một nghiệm chung

b. Tìm a để 2 phương trình tương đương

Giải

a. Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ 1/4

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là: a ≤ -2  (*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình (2) ta có: Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: x0(1 – a) – (1 – a) = 0

⇔   x0(1 – a) = (1 – a) (**)

Vì a ≤ -2  nên 1 – a luôn khác 0. Chia hai vế của (**) cho 1 – a ta được x0 = 1

Thay x0 = 1 vào (1) ta có: a = -2 ( thỏa mãn (*))

Vậy với a = -2 thì 2 phương trình  có ít nhất một nghiệm chung

b. Kí hiệu ∆1, S1, P1 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm của phương trình (1)

Kí hiệu ∆2, S2, P2 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm l của phương trình (2)

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm . Ta xét các trường hợp sau:

+ TH1: Hai phương trình cùng có tập nghiệm là rỗng

Trường hợp này xảy ra khi: Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

+ TH2: Hai phương trình có nghiệm kép giống nhau

Trường hợp này xảy ra khi Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9 vô nghiệm

+ TH3: Hai phương trình có nghiệm phân biệt giống nhau

Trường hợp này xảy ra khi Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

⇒ vô nghiệm

Vậy với Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9 thì 2 phương trình đã cho tương đương

B. Bài tập

Câu 1: Số giá trị của m để hai phương trình x2 – 2mx – 4m + 1 = 0 (1) và x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi  Δ' ≥ 0 ⇔ m2 + 4m - 1 ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 - 4(2m + 1) ≥ 0 ⇔ 9m2 - 2m - 3 ≥ 0

Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là:

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -2mx0 - (3m + 1)x0 - 4m + 1 - 2m - 1 = 0 ⇔ -(5m + 1)x0 - 6m = 0

Nếu Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9  thì điều kiện (*) trở thành Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9  không thỏa mãn (*), nghĩa là với Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9 thì hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Khi Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9 thì Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Thay  vào phương trình (1):

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Xét –m + 1 = 0 ⇔  m = 1( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận

Xét 40m2 + 7m + 1 = 0 có ∆ = 72 -4.40.1 = -111 < 0 nên vô nghiệm

Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án B

Câu 2: Số giá trị của m để hai phương trình 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 (1) và 4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 2)2 - 4.2.12 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 12m - 92 ≥ 0

Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (9m - 2)2 - 4.4.36 ≥ 0 ⇔ 81m2 - 36m + 4 - 576 ≥ 0 ⇔ 81m2 - 36m - 572 ≥ 0

Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là: Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(6m + 4)x0 + (9m - 2)x0 - 12 = 0 ⇔ (3m - 6)x0 - 12 = 0

Nếu m = 2 thì điều kiện (*) trở thành: Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

⇒ m = 2 không thỏa mãn (*), nghĩa là với m = 2 thì 2 phương trình cùng vô nghiệm

Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ 2

Khi m ≠ 2 thì Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Thay vào phương trình (1):

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Xét m = 3( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận

Vậy với m = 3 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án B

Câu 3: Tổng các giá trị của m để hai phương trình 2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0 (1) và 6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0 (2) có nghiệm chung là

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 - 4.2.(-9) ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 + 72 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (7m - 1)2 - 4.6.(-19) ≥ 0 ⇔ (7m-1)2 + 456 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

⇒ Với mọi m hai phương trình luôn có nghiệm

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: (9m + 3)x0-(7m-1)x0-27+19=0 ⇔ (2m + 4)x0-8=0(*)

Nếu m = -2 thì phương trình  (*)  vô nghiệm

Nghĩa là với m = -2 thì 2 phương trình cùng không có nghiệm chung

Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ -2

Khi m ≠ -2 thì Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Thay  vào phương trình (1):

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Vậy với m = 2, Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án D

Câu 4: Tích các giá trị của m để hai phương trình 2x2 + mx - 1 = 0 (1) và mx2 - x + 2 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. -1

B. 5

C. 8

D. -10

Giải

+) TH1: m = 0 thì phương trình (1): 2x2 - 1 = 0 Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Phương trình (2): -x + 2 = 0 ⇔  x = 2

⇒ với m = 0 thì hai phương trình không có nghiệm chung

+) TH2: m ≠ 0 thì hai phương trình đều là phương trình bậc hai. Khi đó

Phương trình (1) có nghiệm khi Δ ≥ 0 m2 + 8 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 8m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/8

⇒ Với Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9 hai phương trình luôn có nghiệm

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có: Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Vì m ≠ 0 nên ta nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với m, nhân 2 vế của phương trình thứ hai với 2 ta được:

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được:

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Thay vào phương trình (1):

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Xét phương trình m2 – m + 7 = 0 có ∆ = (-1)2 – 4.1.7 = -27 < 0 nên vô nghiệm

Vậy với m = -1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án A

Câu 5: Cho hai phương trình x2 – (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) và x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 (2), khẳng định nào sau đây là đúng

A. Có một giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung

B. Tích các giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung bằng 10

C. Giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung là số lớn hơn 3

D. Không có giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 4)2 - 4(m + 5) ≥ 0

⇔ m2 + 8m + 16 - 4m - 20 ≥ 0 ⇔ m2 + 4m - 4 ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 2)2 - 4(m + 1) ≥ 0

⇔ m2 + 4m + 4-4m - 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

⇒ Điều kiện để hai phương trình luôn có nghiệm là: m2 + 4m – 4 ≥  0(*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được:  -(m + 4)x0 + (m + 2)x0 + 4 = 0 ⇔ -2x0 + 4 = 0 ⇔ x0 = 2

Thay  vào phương trình (1):

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung cực hay - Toán lớp 9

Với m = 1 thì m2 + 4m – 4 = 1 + 4 – 4 = 1 > 0 thỏa mãn điều kiện (*)nên nhận

Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Nhóm học tập 2k7