Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay



Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay

A. Phương pháp giải

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

a. Dạng của hệ phương trình

- Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi

- Ví dụ: Hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì được hệ Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Ta thấy mỗi phương trình của hệ không thay đổi nên hệ đã cho là hệ đối xứng loại 1

b. Cách giải

B1: Biến đổi biểu thức ở hai phương trình của hệ theo tổng và tích của x, y

B2: Đặt Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 với điều kiện (S2 ≥ 4P)

B3: Tìm S, P thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P). Khi đó x, y là nghiệm của phương trình  t2 – Sx + P = 0

B4: Kết luận

Ví dụ: giải hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Từ S + P = 5 ⇒ P = 5 – S. Thế vào phương trình  S2 + S -2P = 8 ta được

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

* Với S = 3 ⇒ P = 5 – 3 = 2 thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P)

Ta có Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9, theo Vi-et x, y là nghiệm của phương trình:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Suy ra hệ có hai nghiệm: x = 1 và y = 2, x =2 và y = 1

* Với S = -6 ⇒ P = 5 – (-6) = 11 không  thỏa mãn điều kiện (S2 ≥ 4P) nên loại

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x = 1 và y = 2, x =2 và y = 1

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

a. Dạng của hệ phương trình

- Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn x, y mà khi thay x bởi y và thay y bởi x thì  phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại nhưng hệ không thay đổi

- Ví dụ: Hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Khi thay x bởi y và thay y bởi x thì được hệ Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Ta thấy phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại nhưng hệ không thay đổi nên hệ đã cho là hệ phương trình đối xứng loại 2

b. Cách giải

- B1: Trừ vế với vế của hai phương trình cho nhau ta được phương trình dạng

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

-B2: Kết hợp (*) với 1 phương trình của hệ, kết hợp (**) với 1 phương trình của hệ ta được hai hệ phương trình. Giải hai hệ phương trình đó

-B3: Kết luận

Ví dụ: giải hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Lấy (1) – (2) ta được:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:  

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Với x = 0 thì y = x = 0

Với x = 5 thì y = x = 5

Kết hợp x + y - 1 = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Với x = -1 thì y = 1 – x = 1 + 1 = 2

Với x = 2 thì y = 1 – x = 1 - 2 = -1

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm : (0;0), (5;5), (-1;2), (2;-1)

B. Bài tập

Câu 1: Trong hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 nếu đặt S = x + y và P = xy thì hệ phương trình trở thành hệ nào sau đây

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Khi đặt S = x + y và P = xy thì hệ phương trình trở thành Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án là D

Câu 2: Số nghiệm của hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Giải

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Với Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9  thì x, y là nghiệm của phương trình: Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy hệ có hai nghiệm: (1;3), (3;1)

Đáp án là B

Câu 3: Số nghiệm của hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Giải

Lấy (1) – (2) ta được:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:  

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Với x = 0 thì y = x = 0

Với x = -2 thì y = x = -2

Kết hợp x + y + 4 = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (0;0), (-2;-2)

Đáp án là B

Câu 4: Số nghiệm của hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số

Giải

Lấy (1) – (2) ta được:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp x + y - 1 = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm : (-1;-1), (Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9) và (x;1-x) với x là số thực tùy ý

Đáp án là D

Câu 5: Tìm m để hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 có ít nhất một nghiệm (x;y) thỏa mãn x > 0 và y > 0 là

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đặt Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9. Khi đó hệ phương trình trở thành Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

S, P là nghiệm của phương trình  X2 – (m + 1).X + m = 0 Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Suy ra S = m, P = 1 hoặc  S = 1, P = m

* Với S = m, P = 1 thì hệ (1) có nghiệm x > 0, y > 0

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

* Với S = 1, P = m thì hệ (1) có nghiệm x > 0, y > 0

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy với Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 hoặc m ≥ 2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn đầu bài

Đáp án là C

Câu 6: Tìm m để hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 có nghiệm

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Giải

Lấy (1) – (2) ta được:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp x – y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Kết hợp x + y = 0 với phương trình (1) ta có hệ:

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Hệ có nghiệm khi (*) có nghiệm hoặc (**) có nghiệm

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án là B

Câu 7: Trong hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 nếu đặt S = x + y và P = xy thì giá trị của S và P là

A. S = 5, P = 6

B. S = -5, P = 6

C.  S = 5, P = -6

D. S = -5, P = -6

Giải

Hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đặt S = x + y và P = xy thì hệ trở thành Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án là A

Câu 8: Tìm m để hệ phương trình Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9 có nghiệm duy nhất

A. m = 0

B. m = 2

C. m = -3

D. m = -2

Giải

Điều kiện cần: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ

Suy ra hệ phương trình có nghiệm thì x0 = y0

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vì x0 là duy nhất nên (*) có nghiệm kép ⇔ ∆ꞌ = 0

⇔ 4 – 2(4 – m) = 0

⇔ 4 – 8 + 2m = 0

⇔ 2m = 4 ⇔ m = 2

Điều kiện đủ: Với m = 2 thì hệ có dạng Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn cực hay - Toán lớp 9

Vậy với m = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất

Đáp án là B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp


Nhóm học tập 2k7